一元二次函数和一元二次方程的关系探讨

函数是初中数学的一个重要板块内容，特别是一元二次函数，因为他和数学中的其他板块有着密切的联系，比如说代数和三角函数和几何之类的，要想学好数学，就必须学好这几个基础要素，特别是一元二次函数，因为它是学好其他环节的基础，现在的中考题往往是结合一元二次函数。几何图形和生活中的例子来考察学生的综合能力，但是这对初中生来说具有一定的挑战性，学生对这些已经产生了恐惧心理。本文就从一元二次函数和一元二次方程的关系进行解读，为考生的归纳复习提供建议和参考。

1. 我们首先从形式上来看一元二次方程和一元二次函数的关系：

一元二次函数表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0），一元二次方程的表达式为0=ax2+bx+c（a≠0）

（1）：两则都是关于x的二次式，我们可以从他们的表达式中可以看出：当一元二次函数的表达式中y=0时，就变成了一元二次方程，所以，我们也可以说，一元二次方程就是一元二次函数当中的一种特殊形式，这就是用函数的观点看一元二次方程。

（2）：从条件上来讲，他们的条件相同，都是必须保证a≠0，如果当a=0时，他们都没有意义了。因为他们不再是一元二次函数和一元二次方程了。

（3）：我们还可以从表达式上可以看出，一元二次函数y的值，还是一元二次方程的解x都是与常数a和b和c有关的。

2.我们可以从他们的内涵上来看他们的关系：

（1）：一元二次方程的解是ax2+bx+c=0时的一个确定值，这个值就是方程的根，它是用a，b，c这三个常数来表示的，将x的值反过来带入表达式中，使得ax2+bx+c=0。

（2）：一元二次函数y= ax2+bx+c则是研究函数值y随自变量x的变化情况，当x的值变化时，y也跟着变化了，它是反映的是y随x的变化规律。当ax2+bx+c=0时。可以求出方程y=ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，这两个x1，x2正是一元二次函数y= ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标。

通过以上分析。我们可以知道，一元二次方程的根和一元二次函数与x轴的交点都与常数a，b，c有关，一元二次函数与x轴有交点就说明一元二次方程就有根，但是是不是所有的一元二次函数都与x轴有交点或者说是不是所有的一元二次方程都有根呢？要解决这个问题，我们首先来分析一下例题。

（1）：求一元二次函数y=x2-2x+2=0的根。

解： 我们用配方法把函数化解为：

（x-1）2=-1以上式子我们可以看出，当x在一个实数范围内，我们不能对一个负数开平方根，因为一个实数的平方是一个正数，是大于零的，所以说以上一元二次方程式没有根的。

（2）：在一个平面直角坐标系xoy中画出一个元二次函数y=x2-3x+3的图像，并观察它与x轴的交点数。你可以发现什么？

解：由y= y=x2-3x+3，我们可以看出此一元二次函数的开口方向是向上，所以它应该有个最低点，我们还是通过配方法来找到这个最低点，

由配方法得：y=（x-3/2）2-9/4+3

由上面的图我们可以看出，此一元二次函数与x轴没有交点，

由上面两个例子我们可以看出，并不是所有的一元二次函数都与x轴由交点，也不是所有的一元二次方程都有实数根，既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴x轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关。所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题。有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？我们可以用一个图表来表示出来。

综上，我们可以看到，无论a是任意实数，且a≠0时，①.当b2-4ac〉0时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；②.当b2-4ac=0时，一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即x1=x2）；③.当b2-4ac〈0时，一元二次函数与x轴无交点，对应方程无实数根。亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的。它们都有一共同特征：就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2-4ac与0的比较。一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2-4ac有关，并把它作为判断有无交点和有无根的依据，所以叫它为判别式，记为。（它只是一个记号。）判别式给了我们一个判别一元二次方程是否有根和一元二次函数是否与x轴有 交点的方法。那怎样去运用它的呢？下面我们来看一个例子

（3）：已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数.判定方程 x2+2mx+m（m+1）=0有无实数根.这是一个典型的判别式应用的问题，先通过无实数根，则判别式小于0，求出m的取值范围，再对后一个判别式与0的比较，进而对方程有无实数根作出判断。这是纯方程思想的解法，我们已经知道，方程有无根实际上就等价于函数与x轴有无交点。既然这样，我们何不用函数的观点去看一元二次方程呢！

（4）：一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且BCAC。

⑴ 若m为常数，求抛物线的解析式；

⑵ 设抛物线交y轴正半轴于点D，

问是否存在实数m，使得BOD为等腰三角形？若存在，D求出m的值 。不存在，请说明理由。

因为在一元二次方程y=ax2+bx+c中，如果两根分别为x1，x2，则有

x1+x2=-b /a， x1*x2=c/a，

根据以上公式我们可以得到，a=1/2，b=-m，c=m2/2-2

所以抛物线的解析式为：y=1/2x2+mx+ m2/2-2。

⑵假设存在m，使OB=OD，则有m2/2-2=m+2，解得4=m或-2=m

① 当m=4时，抛物线与y轴交于点（0，6）与x轴交于两点A（2，0）和B（6，0），都满足条 件。所以当m=4，BOD是等腰三角形。

② 当-2=m时，抛物线与y轴的交点为原点与已知抛物线与y交于正半轴矛盾。所 以，-2=m不成立，应舍去。

综上，我们可以得出存在实数4=m，使BOD为等腰三角形。

在解一些常见函数时，往往借助其一般图形，更为便捷地对题目进行了解答，这是数与形的结合―即数形结合思想。

参考文献：

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[3] 吴建仁. 探索二次函数与一元二次方程的联系[J]. 数理化解题研究（初中版）2007年07期

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