树形图在一元函数求导中的应用

【前言】树形图在一元函数求导中的应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。■=■·■+■·■，■=■·■+■·■. 为了更好地掌握该链式法则，[1]采用如下的树形图（图1）帮助理解： 为和链式法则对应起来，我们将上述树形图变成以下形式（图2） 根据以上这种树形图（图2）的思想，以下分别对乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数以及反函...

摘要：将求多元函数偏导数的树形图方法应用到一元函数导数的求解，有助于学生在学习高数时对一元函数求导的方法和公式的理解和掌握.

关键词：树形图；函数；求导

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0157-02

在高等数学的教学中，一元函数求导数相对于多元函数求偏导数要简单得多，然而很多学生在学习一元函数求导，特别是复合函数等的求导时遇到一些困难，因而影响后继内容的学习.作者受求多元函数偏导数树形图的启发，将树形图应用于一元函数求导的教学中.实践表明，树形图有助于学生对一元函数求导公式的理解和掌握.

在[1]中，二元复合函数z=f（u（x，y），v（x，y））的偏导数为链式法则

■=■·■+■·■，■=■·■+■·■.

为了更好地掌握该链式法则，[1]采用如下的树形图（图1）帮助理解：

为和链式法则对应起来，我们将上述树形图变成以下形式（图2）

根据以上这种树形图（图2）的思想，以下分别对乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数以及反函数的导数等采用树形图加以阐述.

1 复合函数的导数

熟知复合函数y=f（φ（x））关于x的导数公式为

■=■·■=fφφ'

为帮助学生理解记忆，我们将其用如下形式表示

例1：求函数y=sin■的导数.

解：设φ（x）=■，则由

得函数的导数为

y'=cos■·■x■=■cos■.

2 乘积函数的导数

乘积函数y=f（x，y）=u（x）v（x）的导数公式为：y'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x）=u'v+uv'.

我们采用

帮助记忆.

例2：求函数y=sinxlnx的导数.

解：由

可得函数的导数为

y'=lnxcosx+sinx·■=lnxcosx+■sinx

3 商函数的导数

商函数y=f（x，y）=■的导数公式为y'=■

我们采用

来帮助理解记忆.

例3：求函数y=■的导数.

解：由

得函数的导数为

y'=■2x+x2（-■）=■

4 反函数的导数

在一定条件下，假设函数y=f（x）为函数x=φ（y）的反函数，则函数f（x）的导数可以表示为

f'（x）=■.

为了得到此公式，我们对x=φ（y）等式两边关于x求导数，并时刻记住y是x的函数，等式右边为

即为φ'（y）y'.这样就得到等式1=φ'（y）y'，从而得到反函数的导数公式

y'=f'（x）=■.

例4：求函数y=arcsinx的导数（[2]）.

解：由于函数y=arcsinx，x∈（-1，1）是x=siny，y∈（-■，■）的反函数，对x=siny两边同时关于x求导数得1=cosy·y'，从而y'=■=■=■.

结束语：

在高等数学的教学中，对理工科数学基础不好的学生，特别是对文科学生来说，有时采用数形结合的方式教学，不失为一种有效的教学方法.对一元函数的导数这部分内容来说，作者的实践经验说明上述方法是有效的.

参考文献：

[1]谢季坚，李启文.大学数学[M].第3版.北京：高等教育出版社，2009：2，6.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001：97-98.

基金项目：贵州大学2010教学改革重点项目

作者简介：黎华琴（1979-），女，研究生，主要从事基础数学研究。