一节数学活动课引起的四问反思

摘 要：从数学活动课《探究四点共圆的条件》的前期准备与课堂实践，揣摩对教材文本的解读方式和课堂诠释的具体策略，通过问题反思，梳理对数学活动目的达成的积极因素，促成学生数学素养的体悟与积淀。

关键词：活动；问题；定位；资源

数学活动课是课程结构的一个重要部分，是指以在教学过程中构建具有教育性、创造性、实践性的学生主题活动为主要形式，以激励学生主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造为基本特征，以促进学生整体素质全面提高为目的的一种新型教学观和教学形式。

同一节数学活动课，一千个老师，便将有一千个解读方式和诠释的策略，来影响一千个班级的数学素养与积淀。从初三数学活动课《探究四点共圆的条件》的前期准备与课堂实践中，真切感受一句话：事非经过不知难，事非经过不知“道”。道是一个首和一个走之底组成的，联合起来就表示“从头开始行走”。对数学活动课的研究还未成型，的确需要教师从头开始行走启程，展开对教材内外资源的揣摩与探究。

一、数学活动课的定位

问题1：数学活动课怎样不会流于形式？

“数学活动课”即数学+活动，活动的生成层次、学生主体的覆盖面都是反映活动课教学特征的重要维度，决定“活动”是只走了形式，还是“走心”走到学生心里去，学生真正获得研究方法的习得。

（一）活动课不等同于常规新授课

新授课的内容主要包含数学概念、定理、法则等的形成、推导，并应用在解决问题，穿插活动是它的学习方法之一，而不是主题。而数学活动课更多的应该是要提供给学生一个探究的步骤：一个数学结论当初是从何而来的，它的过程和方法可能、可以是什么样子的？如本节课的探究途径设计：定研究对象―画实例特例―抓特征要素―筛选核心条件，学生有一个亲身的体验和直观的借鉴。在《探究四点共圆的条件》中，定研究对象选择的是四边形的四个顶点，不是平面内随意分散的任意图形上的四点，这保证了研究对象的纯粹性；接着，不断地尝试画实例（四边形）、特例（特殊的平行四边形），抓特征要素：从四边形的基本元素―边、角、对角线进行特征的分析，在不断地寻找―否决―再寻找―再否决的活动过程中，筛选获得真正的核心条件。

（二）数学活动课不等同于复习课或超纲课

复习课将割裂的章节内容进行整体性的串联建构，使知识链系统化，综合运用，提炼思想方法。数学活动课经常都在章末附上，但它也不应该是复习课或者超纲知识的补充课，因为它有自己独特的意义所在。因此，本节课活动一的旧知复习和活动五的共圆的模型应用都放在课下，课上只做快速的回顾，只为活动的必备认知和技能做一个铺垫和延伸。数学活动课的生活信息素材或者数学事实资料以及活动课所生成的结论，都只作为展开数学活动的载体。相对于活动本身，超纲的活动结论不是学生真正需要的东西，两者间显然是授之于“渔”或是“杂鱼”的区别。

二、数学活动课的进入角度

问题2：基于教材载体，怎样为数学活动课寻找筛选恰当的素材资源，更好地与活动的切入点有机地联系起来？

（一）数学猜想的发散

猜想总是很发散的，要怎么收拢呢？第一稿中笔者曾考虑怎么让学生去猜想“四点共圆的条件”会是“角”的方向？曾设计了一个围绕圆周角的性质――圆的内接四边形对角互补，反之撤掉圆的背景，对角互补的四边形四个顶点会落在同一个圆上；又如“同弧所对圆周角相等”基本图形，反之，若共一边的两个三角形公共边所对的角相等，则这两个三角形的四个顶点也共圆等等。这其实也就是圆周角的性质定理和它的逆向猜想。这样的设计，可能受到的影响来自于曾经学过的平行线的性质和判定、全等的性质和判定、特殊四边形的性质和判定等等教材章节。作为数学课程改革基本思路指导下，以创新课堂教学和学生学习方式为方向的活动课，太过明确而显得狭隘的猜想，或者活动已经失去了开始的探究创新意义。因此，活动课的设计结构与教材的整体建构是有所不同的，学生个体的差异性是促成基于活动过程获得猜想的全面性和独特性的自然起点。

具体地说，为什么本节课最终的结论是关于“对角”的？在活动的开始，首先引导四边形的要素是什么？学生会回忆，一般是看边、看角、看对角线！那么为四点共圆选择条件时，边的角度出发为什么不提？对角线为什么不说？这就是得到数学结论的过程中，不可也不该绕道回避的真正问题。从特殊图形出发寻找共性条件，特例从哪里开始，比如为什么从平行四边形开始？可不可以从矩形开始？学生也可以从正方形开始，因为它拥有平行四边形中的最强条件。学生无论从哪里进入，一切基本元素具备的图形特征皆有可能是四点共圆的条件之一。

（二）数学猜想的收拢

在具体的教材资源处理上，如本节课在画实例特例的筛选时，若画图已发现矩形可以四点共圆，那正方形作为更特殊的矩形，也可以四点共圆；经常会与矩形比照的四边形是菱形，发现菱形不可以四点共圆，作为存在的反例，那么平行四边形就不一定四点共圆了等等，这样将特殊四边形之间进行关联性的思考，会发现原来教材上提供的6个基本图形顿时就鲜活生动起来，所以教材的处理真的是一门大学问，学生从中可发现数学的奇妙之处，锻炼逻辑推理能力。

数学活动课多以阅读材料的形式给出，篇幅很有限，开放度却高。因此活动课备课难度较大，它的“难”很大程度上在于怎样从无到有，为数学活动课寻找、筛选恰当的素材资源。在课前相关资源收集时，就曾发现一大堆的四点共圆的条件，有些属于高中阶段，甚至是竞赛范畴内的。因此这个剔除不相干因素的过程也是数学活动的必经之路和重要组成。

三、数学活动的作业设计

问题3：数学活动课的作业可以怎样设计来延续强化、观察评估活动课的效果？

数学活动课以学生活动能力的发展状况为评价关注对象，观察活动课对各层次学生可能发生的数学学科价值。因此，其课后作业应成为“活动”的助力，延续活动的基本路径，更看重创造力、质疑能力，没有统一的标准答案，没有单一的评价指标。

在本节《探究四点共圆的条件》活动课的最后，设计抛出新问题，延伸把“活动”二字进行到底，比如研究目标设置为：有公共边的两个三角形要满足什么条件能确定四点共圆呢？学生可以结合今天的数学活动流程，自行设计从三角形的角度出发，进行大胆的探究：三角形的要素又是什么呢？（如边、角元素）；什么样的三角形算得上是三角形的特例呢？特殊三角形都有哪些呢？（如等边三角形、等腰直角三角形等），学生自己就可设计几个特例来简单、全面地说明判定条件的由来与边无关，与公共边所对的两个角有关系。

四、数学活动的主体生成与主导预设

问题4：活动课上的教师与学生，主导与主体如何把握？

（一）教师主导预设

1.数学活动的时机把握

活动课里的过渡和衔接有赖于老师的引导。活动目的的揭示，活动流程指令的清晰度，其实也是一节活动课充分活动的保障。从特殊条件出发寻找四点共圆的共性条件里，以共同完成一个图形的一“画”（四边形）二“试”（四顶点可否共圆）三“寻”（四边形的要素特征）四“断”（特征与共圆之间的判定关系是否成立）为示范，可以有意识地避免学生停留于光画图尝试，不经历猜想思辨，迷失活动目标，造成活动课无序的情况，保证活动课的前进与深入。活动重心从什么地方开始，包括每画一个图形便分析一个图的特征，判断特征的作用，追问学生对条件的分解，观察学生活动的进展，促成学生的活动成果加工梳理，通过思维导图横向比对，先把图形画出来再全部罗列分析，需要老师的伺机推动与有效组织。

2.数学活动课的细节

活动课的起点基于学情，活动中的细节设计同样服务于学生活动的便捷。本节课里，为什么共斜边的两个直角三角形组合的四边形教学设计用坐标定位？因为由观察坐标可迅速获得线段（边）长度，再由勾股定理逆定理获得最长边所对的角是直角；为什么用格点图作为背景素材？为了避免学生随意作图可能造成的较大误差，误导活动基于图形得到的猜想结果，方格纸的标准化，可以直观、快速给予参考。教师要设计活动中有用、好用的活动工具。

（二）学生主体生成

1.学生在活动中的独立性

学生个体学习活动经验和生成资源就是最好的课堂资源。活动课重视学生个人独立尝试，比如寻找得到的条件之间的重复、包含、比对需要学生进行观察研究、思辨整理。学生的思考方式与教师思维的相异性是客观存在的，因此，拘泥于既定的活动途径是数学活动课堂的大忌。在数学活动中，学生自己选择不同的方向去探索，能在活动过程中更深层次地沉浸其中，在创新性的活动过程和出乎意料的成果中获得不一样的喜悦和期待。

2.学生在活动中的合作性

活动课在大致确定研究对象后，也可分组分工，学生的交往与碰撞或可获得意料外的火花。不同组讨论不同图形进行共享，避免重复研究，最后的结论或更充分完整。在最后梳理时让学生之间去表达互相质疑，操作效果会更好，因为说的学生要想得明白才能说得明白，互相说的过程达到活动课的不同思维的碰撞。

参考文献：

顾广林.初中数学活动课的实践与认识[J].数学教学通讯，2010（9）.