地下水水位预测的时间序列分析方法综述

摘要：时间序列分析提供的理论和方法是进行大型高难度综合课题研究的工具之一。其预测和评估技术相对比较完善,其预测情景也比较明确。近年来已有很多学者对于时间序列的研究取得了极其丰硕的成果,有的甚至在时间序列分析方法的基础上,研究出新的预测方法,在应用中求创新求发展。从基本理论与应用等方面对时间序列分析进行了综述,同时阐述了它未来的发展趋势。

关键词：时间序列； 混沌；地下水水位

中图分类号： P641.13 文献标识码： A 文章编号：

1 引言

水资源问题正在被越来越多的国家所普遍关注和重视。尤其是地下水资源!随着世界性的水资源危机逐步出现，由于地下水资源具有能调节水资源和水质好，可直接开发利用等优势，各国都曾经出现了地下水被过度开采。由于地下水的不合理利用，不仅加剧了供需矛盾，也引起许多环境、地质问题。比如，地面沉降、地面塌陷、海水入侵、地裂缝、矿区地质灾害等，给人们生活和社会经济发展带来了非常不利的影响!因而地下水资源的开发和保护问题越来越引起国际和各国政府的重视!于是地下水资源的定量、定性评价逐步成为水资源管理的中心课题。为了给政府和相关部门决策提供科学依据，迫切需要研究地下水的各种状态，像区域地下水分布、水位变化规律及补给和排泄条件等。通过一些方法对上述状态进行模拟、预测，政府和相关组织对地下水的利用和保护就可以制定比较合理和有效的方针、政策，使地下水资源可以被我们长期可持续性的利用，使我们的国家走上良性循环可持续发展的道路!对事物的发展进行科学的预测是可行而且是必要的。良好的预测效果往往会给我们的科学决策提供一定的可靠依据，这将产生巨大的经济效益和社会效益!预测由来已久，是一门古老的方法。随着科学技术的飞速发展，预测学发展的很快，各种预测的理论和方法得到全面发展和广泛应用，极大地提高了人类的认识自然和社会的能力，同样也促进了人类对充满不确定性的未来的预测能力。尤其是80年代以来的非线性预测发展极其迅速和丰富!预测理论和方法的门类繁多，主要有:时间序列法、相关法、外推法、回归分析法、解析法、神经网络法、小波分析预测法、模糊逻辑法、灰色理论预测法、卡尔曼滤波法、分析预测法、专家系统法等，或上述预测方法的混合型方法，如:模糊专家系统法、模糊神经网络法等。

2 时间序列模型

每一种方法都是来源于实践，时间序列分析方法也是如此.1927 年数学家耶尔(Yu le) 为预测市场变化的规律， 提出的自回归模型，标志着时间序列分析方法的产生。接着1931 年瓦尔格 在自回归(A R ) 模型的启发下， 建立了滑动平均模型及自回归滑动平均模型。20 世纪70 年代博克斯与詹金斯在《时间序列分析: 预测与控制》一书中正式提出了时间序列分析法, 并指出理论上它适用于各种领域的时间序列分析。

2.1 AR模型

如果时间序列是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为

（1）

则称该时间序列是自回归序列，（1）式为自回归模型，记为AR（p）。实参数称为自回归系数，是模型的待估参数。随机项是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为的正态分布。随机项与滞后变量不相关。不是一般性，在（1）中假定序列均值为0。若，则令，可将写成(1)式的形式。记为k步滞后算子，即，则模型（1）可表示为

（2）

令

模型可简写为：

（3）

AR（p）过程平稳的条件是滞后多项式的根均在单位圆外，即的根大于1。

2..2移动平均模型

如果时间序列（是它的当前和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为

（4）

则称该时间序列是移动平均序列，（2）式为q阶移动平均模型，记为MA（q）模型。实参数为移动平均系数，是模型的待估系数。

引入滞后算子，并令

则模型（4）可简写为

（5）

移动平均过程无条件平稳。但希望AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆。因此要求滞后多项式的根都在单位圆外，经推导可得

（6）

其中，，其他权重可递推得到。称（6）为MA（q）模型的逆转形式，它等价与无穷阶的AR过程。

2.3 自回归移动平均模型

如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为：

（7）

则称该时间序列（是自回归平均序列，（7）式为（p，q）阶的自回归移动平均模型，记为ARMA（p，q）。为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数。

引入滞后算子B，模型（7）可简记为

＝（8）

ARMA(p，q)过程的平稳条件是滞后多项式的根均在单位圆外。可逆条件是的根都在单位圆外。

运用B－J方法研究时间序列，最重要的工具市自相关和偏自相关。

自相关：构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数度量，表示时间序列相隔k期的观测值之间的相关程度。

其中，n是样本量；k为滞后期； 代表样本数据的算术平均值。

b、偏自相关：对于时间序列，在给的的条件下，与之间条件相关关系。其相关程度用偏自相关系数度量，有，

其中是滞后k期的自相关系数，j＝1，2，…k-1

2.4 混沌时间序列预测法

20世纪60年代混沌现象的发现，大大推动了非线性科学的发展。混沌时间序列预测法是80年代末发展起来的一种非线性预测新方法，具有广泛的发展前景。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。1986年，中国第一届混沌会议在桂林召开，为我国广泛开展混沌科学研究起到了促进作用。混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的新兴交叉学科，在数学、物理学、化学、生物学、地质学、经济学以及社会学等等领域中，普遍存在着混沌现象，它体现了许多不同学科之间的共性，是涉及系统总体本质的一门新兴科学。当前，自然科学正面临着深刻的变化，学科之间的相互渗透，促进了一大批综合性边缘学科的孕育和发展，并从根本上影响着现代科学的逻辑体系，改变着人们对世界的看法。它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性与无序性的统一，确定性与随机性的统一，拓广了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识，它涵盖了自然界及社会科学的各个领域，混沌研究的进展将有力地促进几乎所有学科和技术领域的发展。混沌科学的倡导者之一，美国海军部官员施莱辛格曾说“二十世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学与混沌。混沌理论对自然界和社会现象有着与传统科学不同的思想和研究方法，为水文预测提供了新的理论框架。混沌运动是确定性系统具有内在随机性的一种运动，它的行为极其敏感地依赖于初始条件。混沌系统从两个极其邻近的初始点出发的两条轨道，在短时间内的差距可能不大，但在足够长的时间以后将呈现出很大差异。1963年，美国气象学家LorcnzE.(洛伦兹)取得了惊人的发现，他在((JournaloftheAtmosphereSeienee》上发表了“决定性的非周期流”一文122〕，指出气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种不可预见的联系;同时清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本特性，这就是著名的“蝴蝶效应”。这种“蝴蝶效应”表明，对混沌运动不可能做出长期的精确预测。但是，混沌运动固有的确定性表明，混沌当中蕴含着有序，它不同于无从控制的随机运动，所以混沌系统的短期预测是可行的。时间序列一经证实具有混沌性，就可应用混沌时间序列方法进行预测。混沌时间序列分析法与传统的统计模型还是有一定差异的。统计模型是在简单模型的近似下，用外在随机因素来解释模型偏差，预测只是在概率意义下的等可能预测，同时预测趋于平滑;而混沌理论则是建立一个很小或几乎没有随机误差的非线性复杂模型，在预测时主要考虑模型本身对时间序列未来值的影响，能预测时间序列微小的起伏波动等精细结构。

3 未来展望

虽然目前时间序列分析理论的研究已有了一些进展,在分析预测领域也取得了可喜的成绩,但分析预测是一项艰辛和复杂的工作,同时由于目前已有模型的固有缺陷,这些都极大地影响分析预测的结果。因此,在这方面的研究还需继续深入和广面拓展。笔者认为进一步的研究和创新工作可在以下几个方面进行:

(1) 现在时间序列数据挖掘研究中提出很多的挖掘算法都是具有普适性的算法,算法的适用面广,但算法的预测效果相对较弱,比如张保稳的时间序列数据挖掘研究中提出的挖掘算法,若能将时序进行分类,然后从每类时序中抽取该类时序的特征并将其引入到算法中,形成各类时序的专用挖掘算法可能会提高算法的性能和效果。随着人工智能、机器学习等学科的发展,普通的基于回归模型,聚类模型和统计模型的挖掘技术需要结合人工智能技术的发展而给出更多更有效的数据挖掘技术,从而更好的支持大规模非线性系统的决策。当前对于数据挖掘中不确定性问题的研究正在成为数据挖掘的一个新的方向,比如模糊数据挖掘研究,现在这方面大部分的研究都集中在关联规则挖掘上,有关时间序列模糊挖掘方面的研究尚亟待开展。

(2) 近几年来,尽管产生了大量的预测方法,但是却没有哪一种方法在任何情况下都能有最好的表现。复杂的方法虽然有“完善的”理论支持,在实践中却不一定有令人满意的结果。朴素的方法以其意外的成功证明着:朴素并非意味着简陋。理论和实践的结果,都要求我们正确考虑预测的策略。目前,实际应用的预测方法有几百种,但如何正确评价预测方法与预测模型的功效并依据具体实际选用合适的预测模型与方法也是广大预测者面临的实际问题。

(3) 对于混沌时间序列的预测问题,用基于混沌吸引子的时间序列预测方法进行短期预测能够获得比较满意的结果。但该方法的应用也是有一定缺陷的,如要求数据样本量要大,必须借助计算机建模并花费很多的上机时间。在实际应用中,预测点邻域半径的选取以及数据中噪声的处理都是值得认真研究的。应用混沌理论研究预测,国内外的相关研究大多局限于应用混沌理论的某些概念作定性的分析与具体方法的开发及应用,从系统演化发展角度,对预测的基本假定、思维定势及框架等的范式转换和建模原理进行系统化研究的成果并不多,理论上的深度、体系上的广度均有待拓展。

总之,在笔者看来未来时间序列的研究将会朝几个方向发展:海量时间序列数据大多是非平稳的,其特征参数和数学分布是随着时间的推移而发生变化,模型必须跟踪这种变化才能适应当前的数据,准确预测未来;由于人们要求对实际问题讨论越来越精确,越来越深入,使得在实际预测工作中,采用时变参数模型和自适应预测技术的现代时间序列方法已经成为必然;出于研究不同变量间动态关系的需要以及计算机硬件的发展,多元模型在向量ARMA 模型中或在状态空间模型中的应用会日益增加;BP 神经网络模型引入到混沌相空间,更能反映时间序列

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