例谈探索性问题的解题策略

随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注探索性问题.所谓探索性问题，就是由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题.由于这类题型有时没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，有时还需对所得出的结论予以证明.其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.

近几年高考常见的探索性问题，就其命题特点考虑，主要分为题设开放型和结论开放型两种.近几年的高考，在填空题、解答题中都会出现探索性题型.下面，就具体实例探讨有关探索性问题的一些常规解题策略.

一、数形结合，探求结论

例1.已知函数y=f（x）同时满足如下六个条件：（1）f（x+1）的定义域是[—3，1]；（2）f（x）是奇函数；（3）f（—1）=0；（4）在[—2，0）上，f（x）的导函数f′（x）>0；（5）f（x）不是单调函数.请画出函数y=f（x）的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式.

分析：由（1）知，—3≤x≤1，—2≤x+1≤2，故f（x）的定义域是[—2，2].由（4）知，f（x）在[—2，0）上为增函数.又由（2）（3）得，f（x）在（0，2]上也是增函数，且f（1）=0，f（0）=0，再由（5）可作出，函数y=f（x）的一个图象如图1，与之相应的函数解析式为：

f（x）=x+1（—2≤x

评注：本题是以抽象函数为背景的函数问题.涉及复合函数定义域、函数的奇偶性、函数的导数及其单调性、奇函数的图象、函数的分段表示等众多知识.求解时需要我们从数和形两个角度作出理性的分析和思考，完成文字语言，图形语言及符号语言的相互转译.本题极具开放性，事实上，同时满足上述六个条件的函数图象是不唯一的.例如，图2也符合要求，其解析式为：

f（x）=—x2+1（—2≤x

二、建构特例，探求结论

例2.设函数y=f（x）的定义域为R，

当x>0时，f（x）>1，对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）f（n）.

（1）求f（0）.

（2）判断f（x）在R上的单调性.

（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）

分析：在我们所学过的初等函数中有没有符合题设条件的函数？由条件，根据指数运算法则，指数函数f（x）=ax符合，又由x>0时，f（x）>1，知a>1.至此，问题（1）（2）的答案可大胆猜测了：

（1）f（0）=1；（2）f（x）在R上是增函数.

下面带着结论去探求解答，解题方向明确.

解：（1）令m=n=0，f（0）=f（0）·f（0）？圯f（0）=0或f（0）=1

若f（0）=0，则对任意的m都有f（m）=f（m+0）=f（m）·f（0）=0，这与已知矛盾，故f（0）≠0，所以f（0）=1.

（2）设—∞

x2—x1>0f（x2—x1）>1，下面研究f（x1）的符号.

当x1≥0时，f（x1）≥1>0

当x10，f（—x1）>1，f（0）=f（x1—x1）=f（x1）·f（—x1）=1，

f（x1）>0

综上所述，x1∈R时，都有f（x1）>0

由f（x2）=f[（x2—x1）+x1]=f（x2—x1）·f（x1），得f（x2）>f（x1）

因此f（x）在R上是增函数.

（3）由集合A得f（x2+y2）

由几何意义，得d≥1？圯a2+b2≤c

评注：本题思考入口是构造抽象函数的原型，作出目标猜测，从而使操作有的放矢，否则第（1）问很可能走入误区f（0）=0或f（0）=1，这种特殊化思想方法是解答探索性问题最常用的思维方法.

三、试验归纳，探求结论

例3.设an是集合2t+2s|0≤s

（1）写出这个三角形数表中的第四行、

第五行各数.

（2）求a100.

分析：对于（1），按照集合中元素的特征写出三角形数表中前三行各数，并观察指数规律，即可写出第四行、第五行各数.对于（2），关键是判断出a100是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）中所得的指数规律求出a100了.

解：（1）将前三行各数写成2t+2s的形式：

第1行：3=21+20

第2行：5=22+20，6=22+21

第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22

由此归纳：

第4行：24+20=17，24+21=18，24+22=20，24+23=24

第5行：25+20=33，25+21=34，25+22=36，25+23=40，25+24=48

即第四行各数依次是：17，18，20，24.

第五行各数依次是：33，34，36，40，48.

（3）由于每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数……故前13行共有1+2+3+……+13=91个数.因此，a100应是第14行中第9个数.所以a100=214+28=16640。

评注：本题的解法策略为，通过试验、归纳，发现题中内在的规律.这种从特殊到一般的试验、归纳思想也是解答探索性问题最常用的思维方法.

四、先猜后证，探求条件

例4.如图3，正方体ABCD—A′B′C′D′中，

E为CC′上一点，当的值为多少时，能使

面A′BD面BDE？请给出证明.

分析：就本题而言，如果我们从结论出发，去探求的值，无疑是可行的，但推理和运算较麻烦.如果我们先猜后证，将事半功倍！由于面A′BD面BDE的特殊性，点E是否在某个特殊位置上，比如说中点？由此尝试证明面A′BD面BDE，成功！何其简单.

解：设E是CC′的中点，又设AC与BD交于O点，连结OE，OA′，因为ED=EB，OD=OB，所以EOBD在长方形A′ACC′中，由平面几何得OEA′O，所以EO面A′BD，又EO■面BDE，所以面A′BD面BDE.

评注：本题的解答是要找出使结论成立的充分条件，由题设条件预见点E在特殊的中点上，从而问题也就变得简单多了.可见教会学生大胆猜想合情推理，有时解题将会出奇制胜.

在数学教学中，我们应不失时机地变更某些例题、习题之结构，使之成为探索性问题，并启发学生选用合理的解题策略，而获得问题的求解.这样可以大大激发学生学习数学的兴趣，启迪他们的智慧，达到培养学生分析问题、解决问题能力的目的.

（作者单位 江苏省昆山市中学）