几何直观的数学价值及培养路径

几何直观是2011版义务教育数学课程标准的核心概念之一，也是新课标增加的关键词汇，愈来愈成为数学教育中关注的一个重要问题。笔者以为，在小学阶段培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，注重操作，引导学生把图形画出来；重视变换，让图形动起来；借助几何直观，培养推理能力；逐步引导学生在解决数学问题的过程中，渗透数形结合思想，感悟数与形之间的相互转化，使学生的认知多元化，以更好地发挥几何直观的教学价值。

一、注重操作，把图形画出来

笛卡尔说：“没有图形就没有思考。”斯蒂恩也说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”画图对理解概念、探寻解题思路有很大的作用，因此，要指导学生养成一种用直观的图形语言思考问题的习惯，能用图形表示的，尽量用图形表示，目的是把抽象的东西直观地表示出来，把本质的东西显现出来。要培养学生的几何直观能力，必须让学生理解几何形体的本质属性，通过组织摆、拼、折、量、画、剪等具体活动，引导学生通过观察、实验等进行描述，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。

例如，让学生画一画线段、射线、直线，有利于学生掌握线段有限长、射线直线无限长的特征；让学生画出长方形、平行四边形，可以更好地掌握长方形对边平行并且相等，四个角都是直角，而平行四边形只是对边平行并且相等的图形特征；认识长方体和正方体时，通过画立体图、表面展开图，能培养几何直观能力，进一步促进认知的内化。

画图，可以帮助学生更好地描述和分析问题。学生一旦能用图形把一个实际问题描述清楚，就可使复杂的问题变得直观和简单，更容易展开形象思维。例如一个平行四边形相邻的两条边长度分别是8厘米和12厘米，高是10厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？学生解题时不能简单套用平行四边形的面积公式，必须根据题意进行分析和选择，选取恰当的两个数据进行计算。这时，画一画示意图，就能很快排除多余信息形成的负干扰。又如，一个长方形的花圃，长是38米，划去了一个最大的正方形后在余下的长方形四周围上篱笆，篱笆长多少米？乍看题目似乎缺少条件，无法解答，但如果画一张示意图，利用正方形四边相等的特征，就能直观地看出篱笆的长度就是原来长方形的两条长之和，用38×2=76（米）就可顺利得解。

培养“几何直观”能力，并非局限于“图形与几何”的内容，很多数学问题我们都可以让学生借助画线段图，使问题直观明了，例如行程问题、移多补少问题等等。几何直观有助于学生直观地去理解数学，因此在整个数学学习过程中都发挥着十分重要的作用，而将几何直观用于分析和描述非“几何与图形”领域的问题时，恰恰更能体现几何直观的教学价值，也能更好地培养学生的几何直观意识与能力，提升几何直观素养。

二、重视变换，让图形动起来

变换也可看做运动，让图形动起来，在变换或运动中学习、研究、揭示图形的性质，就能把握图形与图形之间的关系，加深对图形性质的本质认识，提升几何直观能力。

在教学中充分利用变换去认识、理解几何图形，是培养几何直观能力的好方法。如通过基本图形合成组合图形，组合图形分解成基本图形，还有基本图形通过平移或者旋转变成新的图形等等。

例如圆面积公式的推导。学生会计算长方形的面积，通过分割与拼组，把圆形转化成近似的长方形。通过动手操作，感知长方形的长就是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径。因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积等于πr2。这样化静为动，让学生经历圆面积公式的形成过程，既为学生的空间想象打下基础，又为直观洞察做好铺垫，并且还利用几何直观帮助学生理解了圆面积与圆半径之间的数量关系。又如，在学生掌握了三角形、梯形等面积公式的推导以后，教师提出：既然梯形的面积公式可以从多种图形的面积公式推导而来，那么梯形面积公式与这些图形面积公式之间有什么联系呢？教师在电子白板上分步演示：①将梯形上底一个端点向右一侧平着拉伸，使之成为一个平行四边形，这时上底与下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四边形面积计算公式了。②将梯形下底两个端点向中间缩，使之成为一个长方形，这时梯形的上、下底就变成了长方形的长，高变成了宽，（上底+下底）×高÷2=（长+长）×宽÷2=长×宽，即得到了长方形的面积计算公式。③将梯形上底逐渐缩短，最后缩成一个点，即上底为0，这时梯形面积就转化成了三角形的面积公式，使学生很直观地了解这些计算公式之间的内在联系，从而帮助学生从整体上把握数学知识结构，深化对数学的理解。

三、数形结合，使认知多元

数学家华罗庚说过：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”数形结合抓住了数学的本质——数与形，把抽象的数与具体的形有机结合起来，由图形带来的直觉，能增进学生对数学的理解，激发他们的创造力，而对空间与图形性质的探索和推导，则有助于培养学生借助直观进行推理的能力。

例如可以通过数形结合，认识带小数。

师：（多媒体出示一个正方形平均分成10份）像这里的4份就是指4个十分之一，用0.4表示。那么现在我添上这样的4条，就是8个十分之一了，能写成0.8，再添两条呢？就是几个十分之一？

生：10个。

师：10个十分之一就是？

生：1。

师：是啊，满十个十分之一，我们就不用零点几来表示了，应该写成1。老师继续添这样的一条，就是多少呢？

生：1.1。

师：这个小数中有两个1，表示的意义一样吗？如果老师再添一整块和两整条，合起来就是？

生：2.3。

师：2.3表示什么呢？

教师继续在数轴上表示小数，并动态出示，帮助学生进行整段理解：从0到1表示1，0到2表示2整段，0到3表示……依此类推。而0.3表示比0大比1小，是在0和1之间，表示3/10。接着请学生分别找到1.3、2.6、3.9的位置。

小学生正处在形象思维向抽象思维过渡的阶段，通过数形结合的动态演示的方法，把抽象的算理变得直观可见，将抽象的数学语言转化成直观的图形，让学生理解数轴图，从而准确地找到各带小数的位置，有效地突破了教学的难点。

四、借助几何直观，培养推理能力

几何直观，不仅能够为学生感受、理解抽象的概念提供有力的支撑，有利于学生获得相应的知识和技能，而且能为学生自主探索图形的性质提供方便，有助于培养学生的推理能力，激发他们的创新意识。因此，几何直观意识的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程之中。

我们在教学中要注意引导学生经历观察，得出猜想，再用操作实验加以确认。虽然小学阶段不强调运用推理严格证明，但经过了这个过程，就能将几何直观与推理自然结合起来，满足了学生探究的好奇心，加深了学生对规律结论的感性认识，培养了学生初步的演绎推理能力。

例如教学三角形内角和时，先通过特殊三角形（三角板）三个角的度数的和是180度提出猜想：三角形的三个角加起来等于180度，再引出是不是所有的三角形内角和都为180度，激发学生探究的欲望。

然后开始环节一：用画、量，折、拼，撕的方法得出直角三角形内角和是180度。环节二：继续用这些方法研究锐角三角形，得到同样的结果。环节三：继续用该方法研究钝角三角形，得到同样的结果。因为三角形按角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，而锐角三角形的内角和是180度，直角三角形内角和是180度，钝角三角形内角和是180度，所以可以得出所有的三角形内角和都为180度的结论。

再进行追问：通过一块三角尺的内角和是180度，推算用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是多少度？将一个三角形划分成两个三角形，每一个小三角形的内角和是多少度？最后得出三角形不论大小，无论形状，它的内角和都是180度的结论。

这样层层推进，使学生在观察、操作、分析和想像活动的过程中进一步强化认识三角形三个内角和就是180度，培养了学生的几何直观和论证推理的能力及思维的严谨性。

小学阶段，从某种意义上讲，主要是引导学生学习认识一些基本图形，如线段、直线、射线、角、三角形、长方形、正方形、圆、长方体、正方体、圆柱、圆锥等等，因此，要把让学生掌握一些基本图形作为教学的重要任务，贯穿在教学的始终。基本图形既具有典型性，又具有迁移性和延伸性。在教学中有意识地强化对基本图形的运用，并不断地发现和描述问题，帮助学生学会合理运用、灵活构造这些基本图形，将基本图形进行适当提炼和拓展，可以激发学生的兴趣，开阔视野，进一步培养探索和创新精神，从而培养和提升综合分析能力和解决问题的能力，使学生更好地感知数学，领悟数学，理解并掌握数学。

（黄国洪，江阴市花园实验小学，214431）