深入简出,实现概念精加工

分数概念反映的是一种“关系认识”的思维方式，在小学阶段主要分为两个层次，第一层次是单个整体与部分的具象关系，第二层次是多个物体与部分的抽象关系。而三年级上册第十单元的第一课时《认识分数》，是把单个的物体看作一个具象整体，把这个具象整体平均分成几份，其中的一份是这个具象整体的几分之一，即反映的是第一层次的关系，这是分数认识的基础。相比较整数概念，分数的概念更为抽象，如果仅仅记忆或者操作这些符号化的概念，那么学生对几分之一的认识只能停留在形式化的表层，这将对他们以后认识多个物体与部分的抽象关系造成困扰。所以，在一开始认识时，就应该关注这个数学符号所蕴含的本质属性，对概念生成过程进行精加工。

一、概念教学的三次尝试

第一次尝试：忠于教材安排，按部就班开展教学。

首先，出示教材上的野餐情境，让学生把4个苹果、2瓶矿泉水、1个蛋糕分给两个小朋友，根据分的情况揭示“平均分”，并让学生尝试用数学符号表示半个蛋糕，再借助古代人狩猎情境（两个人捕捉到1只兔子）展示记录半只兔子的符号变化情况。

然后，借助媒体演示，逐步揭示 的意义——把一个蛋糕平均分成两份，每一份是它的 ，并适时板书，说明 的写法，自学各部分名称。接着让学生在长方形、正方形、圆形、T恤、裤子的纸片上分一分，找到 并用斜线涂上颜色。

虽然整个教学过程尚显顺畅，但是在后面认识几分之一的环节中，发现了几个突出问题：孩子们利用不同形状的纸片创造几分之一时，有大约 的孩子不知道从何入手，有大约 的孩子把纸片平均分好后，不知道几分之一在哪里；在交流“你是怎样得到几分之一”时，有部分学生不知道如何阐述。

经过深入分析，主要原因在于分数概念认识单一化、形式化。在引入 的概念时，仅仅通过一个分蛋糕的情境，无法充分地在符号与现实意义之间建立对应关系。后面的操作，就成为指令下的模式化活动，这种活动只能建立抽象图形和符号之间的连结，无法代替真实情境与符号的连结。学生就缺失了对“平均分”的深刻体验，缺失了对 所表示的是单个整体与部分之间具象关系这一本质内涵的认识。

第二次尝试：扩充背景材料，分类辨析开展教学。

首先，出示两个小朋友分享一个蛋糕、一块巧克力、一块三明治的情境，依次用圆形、长方形、三角形纸片分别来代替上述三样食品，让学生动手分一分。然后，对学生出现的不同分法进行分类。选择出“每人分得同样多”的纸片，揭示“平均分”，并进一步提问：他们都被平均分成了几份？这一份还满“1”吗？那可以用谁来表示呢？从而引出 ，揭示课题。接着依次判断上述不同纸片上的阴影部分是否能用 表示，并提问：怎么都可以用 表示呢？他们有什么相同的地方？从而揭示出 的本质：都是平均分成了两份，涂色部分都是其中的一份。最后教学写法，说明先划一条横线，表示平均分。然后让学生猜想先写横线下的“2”，还是先写横线上的“1”，并说明理由（先要平均分成两份，才能得到其中的一份），完成板书。

这一次教学，使探究“整体与部分”关系的背景材料变为两个小朋友分享一个蛋糕、一块巧克力、一个三明治，学习资料的丰富，让学生对 的体验更为全面、深刻。另外，及时把形象的蛋糕、三明治、巧克力抽象为圆形、三角形、正方形的纸片进行“分一分”的操作，并对不同分法进行分类辨析，抽取出是平均分的那一部分材料的共有属性——平均分成两份，涂色部分是其中的一份，帮助学生加深对单个物体“平均分”的认识，也更完整地让学生体验 的生成过程。

然而，随之而来也产生了新的问题，“分类”时耗费了太多时间，导致整个概念的建构过程比较仓促。而造成分类时间过长的原因主要有二：第一，三年级学生的注意力以直观感知为主，他们关注的往往是图形中能够直接刺激视觉的信息，如颜色、形状、位置等，而“分的大小”是否相等所产生的刺激并不强烈。第二，“分的大小是否一样”的本质内涵就是是否“平均分”，此时，学生的已有经验停留在多个物体的平均分上，对一个整体的平均分是初次接触。

“分类辨析”其实忽视了学生学习的现实起点。学生虽然没有“单个物体平均分”的体验，但对平均分的认识并不是一张白纸，他们之所以在阐述分数意义时容易把“平均分”遗漏，并不是因为不懂平均分，很大程度上是一种语言表述的惯性遗忘，所以没有必要以“分类”为手段，从头感悟“平均分”。

第三次尝试：精选教学事例，深入简出开展教学。

首先，出示古人狩猎的故事：几千年前，我们的祖先以打猎为生。这天有两个人一起捕到了4只羚羊，2只小鹿，1只兔子，他们该怎么分配这些猎物才能使大家都满意呢？让学生分配猎物，并根据学生回答依次出示古人的记录符号Ⅰ、 Ⅱ、 ，初步揭示“平均分”。然后，创设两个小朋友分享一个蛋糕的情境，由对半个蛋糕的数学表示方法引出课题，并通过电脑演示不平均分的情形，辨析说明“古代人分东西要做到平均分，我们现在分蛋糕也要平均分”，逐步揭示“把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的 ”。接着创设两个小朋友分享一根旺旺碎冰冰的情境（电脑演示平均分成两份），探讨“每个小朋友又能分到多少”，并思考“为什么也能用 表示”，揭示“把一根旺旺碎冰冰平均分成两份，每份是它的 ”。之后学生思考“古代人画的 这个符号表示什么意思”，揭示“把兔子平均分成两份，每份是它的 ”。沟通现在的 和古时候的符号之间的联系和区别，知道中间的横线表示平均分。再教学分数的写法，通过讨论“画出横线后先写横线下的2，还是先写横线上的1”，沟通写法和意义之间的联系。自学分数各部分名称。在圆形、长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形纸片中任选一张，折一折找出它的 ，画上斜线并交流。

二、概念生成的方法

第三次的教学效果有了明显提高，学生不仅能够很快找出一个物体或者图形的几分之一，而且还能用自己的语言比较清晰地说出几分之一的意义，这主要源于在教学策略上的几个改进。

1.精心创设生产、生活事例情境，激发学生学习分数的心理需求。和第二次教学尝试相比，这一次对研究 的三个事例进行了重新选择——来自古代狩猎的情境，来自书本提供的分蛋糕的事例，来自学生实际生活中经常遇到的分旺旺碎冰冰的场景。从古到今，从生产到生活，让学生的视野在跨越时空信息的刺激下得到拓展，这样， 就不仅是半只兔子、半个蛋糕、半根旺旺碎冰冰了，还可能是半个苹果、半个西瓜等等，一种进一步研究分数本质内涵的心理需求被充分激发，同时渗透分数的演变进程，帮助学生积淀起数学的文化内涵。

2.提供大量的感性材料，引导学生经历“过程抽象”，形成对分数意义深刻、全面的认识。除了上述的现实事例外，本次教学行为中还提供了长方形、正方形、圆形、等腰三角形、等腰梯形等操作纸片，甚至在认识几分之一时，还呈现了三叶草、五角星、黑板报版面、QQ农场等让学生来想象几分之一，大量的信息，采用做、说、想等不同的方式，一次次地抽离物体的外在属性，深入挖掘分数的本质内涵，最终形成对分数所表示的单个整体与部分的具象关系（即把一个物体或图形平均分成几份，每份是原来的几分之一）清晰而简单的认识，并在一次次叙说中，学会用比较规范的数学语言把这种认识转化为外在化的表达。

3.巧妙迁移，有效渗透单个物体的“平均分”。仅在上述教学片断中，就有4次渗透了平均分。第一次是由“每人两只羚羊就是每人分得同样多”，唤起学生已有的平均分经验。第二次借助半个蛋糕的不同分法，揭示出“古代人分东西的时候要做到平均分，我们现在分蛋糕也要平均分”。第三次通过分数线所起的作用，再次强化“平均分”。第四次的“平均分”则是在教师随意的“折”这一动态过程中，给予学生强烈的视觉冲击。四次渗透，紧扣学生的知识起点，用无痕化方式加深对单个物体“平均分”的印象，从而有效防止学生对“平均分”的习惯性遗忘。

三、概念精加工的策略

数学概念形成的发展过程是一个数学化的精加工过程，即对丰富的材料进行细致的观察，借助分析、综合、比较、抽象等思维活动，进行去粗取精、去伪存真，舍弃材料的现实意义，抽象出共同的、本质的数学属性，经过简约化的提炼进行符号化的数学表达。纵观三次尝试，最终试图深入而简出，深入教材，深入概念的本质内涵，深入动态的建构过程，数形结合，有效实现概念精加工。

1.深入教材，拓展信息，丰富学生的直观感知

分数具有广泛的应用性，它渗透于我们日常生产、生活的角角落落。教材编排的生活情境是通过分蛋糕来引入 的概念。第一次尝试教学，完全忠于教材的编排，结果学生缺乏丰富的感知，致使 概念建立的过程并不充分。于是便有了第二次信息的扩充，在两个小朋友分享一个蛋糕的基础上，增加了两个小朋友分享一块巧克力、一块三明治的事例。这样背景材料丰富了学生的感知，但不足的是，这些事例属于同一性质、同一层面，缺少空间的架构和时间的延展性，所以也在一定程度上限制了学生的思维宽度。为了让学生认知过程与更多层面的生活情境联系，清晰建立分数的概念，便对事例进行了进一步地甄选处理（即第三次教学尝试），通过对多个不同时期、不同范畴的生活事例中表示的分数 进行语言概括化的过程，帮助学生初步建立了对二分之一所表示的部分与整体之间的一种关系认识，并在分数符号的逐渐演变中，感受现代符号的简约性。数学史的渗透，有助于学生在历史背景中，更深刻地把握数学知识的本质内涵，增加概念的深度。

2.深入过程，化静为动，把握概念的本质内涵

数学概念是人类生命实践活动的智慧结晶，是前人通过辨析、比较大量材料，提炼、抽取本质属性，归纳、概括、命名的活动过程而形成的。如果说经过简约化的提炼和符号化的表达，数学概念就抽象成为一种显性的符号化知识，那么辨析比较材料、提炼抽取本质、归纳概括命名的活动过程，往往就成为一种隐性的过程形态的知识。

要表示出一个物体的 ，必须把握两个本质特征，即首先把一个物体平均分，其次是明确每份是谁的 。这就要随着多层面、多角度的灵动的探索过程的步步深入，才能让学生逐步得到清晰的认识。直到第三次教学尝试，才真正进一步放大教材优势，设计了由动手操作一个图形扩展到操作一组图形的情境，把形状不同、大小不等、颜色各异的多个几何图形纸片发给学生，让学生经历折、找、画、写、说等过程。通过师生、生生之间合作交流，共同商讨等学习方式，引导学生舍弃图形的形状、大小、颜色以及表示 的位置等不同的非本质属性，抽取出其中的本质特征。在这样的“过程性抽象”阶段，把静态的数学符号转化为动态的表象认识过程，并进一步获得理性认识，这样的抽象符号与具体的生活事例之间的对应关系也终于成功地建立起来。

（孙晓华、朱峰，无锡新区实验小学，214000）