话说反证法

反证法作为一种证明命题的方法，有时起着其他证明方法所达不到的作用。但是很多学生往往对它的原理、步骤及适用对象等认识不清楚而使用不好。本文从反证法的各个方面进行了阐述，并且精心选编了例题和练习题，试图帮助同学们学好这一种方法。

一、何为反证法

我们证明一个命题，一般是从已知出发，经过推理论证得出结论。这种方法就称为直接证法。一个命题，当用直接证法比较困难时，可采用间接证法。反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。即先假设所需证明的命题的结论不成立（也就是结论的反面成立），然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。

反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用。

二、反证法的理论依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都为假，至少有一个是真的，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到互相矛盾的两个判断，根据“矛盾律”和“排中律”，这一互相否定的判断不能同时都为真，也不能同时为假，必有一真一假，而定义、公理、已证定理或已知条件都是正确的，那么“假设”就是错误的，于是我们得到原结论是正确的。反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，所以反证法是可信的。

三、反证法证题的一般步骤

1.假设命题的结论不成立，或假设命题结论的反面成立；

2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

3.由矛盾判定，假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

反证法的关键是第一步，要正确假设，否则就不是反证法。核心是第二步，运用假设导出矛盾。如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要断定这种情况不成立就可以了；如果命题的反面情况有多种，那么必须断定所有的反面情况都不成立，才能推断原结论成立。

四、什么样的命题适合运用反证法

原则上是当直接证明较困难或无从下手时，就考虑运用反证法。一般来说，反证法常用于有下述特点的命题的证明：

1.结论本身以否定形式出现；

2.结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；

3.结论涉及“存在或不存在”“有限或无限”等形式；

4.结论的反面比原结论更具体或更易于证明。

一些常见结论及其的反设如下：大于（＞）与不大于（≤）；小于（＜）与不小于（≥）；是与不是；都是与不都是；都不是与至少有一个是等。

五、反证法证题举例

例1.求证方程x2＝y2＋2010没有正整数解。

证明：假设方程x2＝y2＋2010有正整数解x=my=n，

则m2＝n2＋2010，（m＋n）（m－n）＝2010。

由于m＋n与m－n同为奇数或同为偶数，所以（m＋n）（m－n）是奇数或是4的倍数。

但2010＝2×1005既非奇数，也非4的倍数。这说明“假设方程x2＝y2＋2010有正整数解”是不正确的。

故方程x2＝y2＋2010没有正整数解。

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