定积分概念的实验教学探讨

摘 要 实验教学是课堂教学的有益补充。通过对高等数学中定积分概念的实验教学研究，从实验验证的角度帮助学生更深刻地理解积分思想，领会定积分概念的本质。

关键词 定积分；实验教学；积分思想

中图分类号：G642.423 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2013）33-0141-03

1 引言

数学是概念的链条，总是不断地用原有的概念去解释新的概念。这里一方面是说在学习数学的过程中遇到的概念非常多，另一方面是说概念之间的逻辑连续性非常强。在学习高等数学这一门课程时，如果在学习过程中不能准确地认识概念、理解概念，就不能很好地掌握相关知识。因此，在教学中讲清概念是至关重要的。

高等数学中的概念往往是比较抽象的，理论性很强。经常可以听到教师同行感慨概念课不好讲，学生也不爱听。如何化boring为amazing，把学生吸引到概念课教学中来呢？针对不同的数学概念，不同的教学对象，方法也是多种多样的。一方面，在教学过程中，可创建一些易于引起美感的课堂教学结构与形式，如使用精制美观的图形、严谨有趣的算式、幽默的语言、生动的有关概念演变的数学历史故事等，都可变抽象概念为直观、变深奥理论为通俗、变枯燥内容为有趣，使学生接受数学信息的思维活动寓于愉悦之中，轻松愉快地理解和掌握概念。

另一方面，需要注意到，实验教学是课堂教学的有益补充。对一些理论性强而且抽象的数学概念，增加实验教学的环节，将会对课堂教学大有裨益。充分利用大学生求知欲强、愿意动手、喜欢操作的特点，放手让学生在实验教学过程中唱“主角”，给学生充分的独立思考、独立活动和探索新知识的锻炼机会，将更能加深学生对概念本质的理解，提升教学效果，同时提高学生的计算机应用能力，培养学生创造性思维能力。

本文通过对高等数学中定积分的概念的实验教学探讨，从实验验证的角度帮助学生更深刻地理解积分思想，领会定积分概念的本质。

2 基于Matlab的定积分概念实验

大多数高等数学教材都是由如何计算曲边梯形面积来引出定积分的概念。求曲边梯形面积本身也是定积分的几何意义的具体体现。

假设曲边梯形由曲线y=f（x），直线x=a，x=b和y=0所围成，求曲边梯形的面积包括以下步骤。

1）分割：在区间[a，b]内任意插入分点a=x0

2）以常代变：在每一个小曲边梯形中，在底边[xk-1，xk]上任取一点ξk，以高为f（ξk），底边长为Δxk的小矩形的面积是f（ξk）Δxk。当分割很细，则第k个小曲边梯形的面积可用小矩形面积来近似代替，即：

ΔAk≈f（ξk）Δxk，k=1，2，...n

3）求和：把n个小曲边梯形的面积相加，得到曲边梯形面积的近似值，即：

4）取极限：记λ=max{Δx1，Δx2，...，Δxn}，当λ0时取上式右端的极限，就得到所求曲边梯形的面积。

在以上步骤中包含了两个任意性，即对区间的分割和点ξk的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割或者点ξk的不同选取，得到的和式一般不同。定积分的定义中要求在对区间无限细分（λ0）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。对这一点初学者较难理解，引用文献[1]中的例子来进行实验验证。

例1 如图1所示，S是由曲线y=x2，直线x=0，x=1和y=0所围成的曲边梯形，试用矩形估计方法估算S的面积。

解 下文从任意分、不任意取和任意分、任意取两种方式来估算S的面积。

1）任意分，不任意取。文献[1][2]对[0，1]区间进行n等分（n=10，20，30，50，100，1000），在每个子区间上，分别用左端点和右端点的函数值作为对应的小矩形的高，这些小矩形的面积和分别叫做左和和右和。从文献[1][2]中的实验结果可见，随着n的增大，左和和右和的值越接近面积的真实值。

对文献[1][2]的实验进行改进，即对[0，1]区间进行任意划分。利用Matlab中的rand函数可得到0：1之间的n-1个随机数。对此n-1个随机数进行排序，即得到[0，1]区间的n-1随机分点。在每个子区间上，同样分别用左端点和右端点的函数值作为对应的小矩形的高，从而计算左和和右和。从实验结果可见，随着n的增大，左和和右和的值越接近面积的真实值的1/3。在区间数为101，102，103，104，105，106，107情形下，左和的计算结果分别为0.261 29，0.322 97，0.332 43，

0.333 23，0.333 32，0.333 33，0.333 33。

图2为左和的变化规律图。从图2可见，左和单调递增。为什么会出现这样的情况呢？细心的读者不难发现这是由于函数y=x2的单调递增的性质决定的。

2）任意分，任意取。以上的实验做到了任意分，可是点ξk的选取没做到任意取。可否实现任意取呢？在[0，1]区间的任意分点已经确定下来的条件下，可利用Matlab中的rand函数得到0：1之间的一个随机数ξ，再将此随机数通过线性变换，转化成小区间[xk-1，xk]上的一个随机数，它就是所要取的ξk。其中，ξk=（xk-xk-1）ξ+xk-1。以f（ξk）为高，底边长为Δxk的小矩形的面积是f（ξk）Δxk。用小矩形面积来近似代替第k个小曲边梯形的面积，并把n个矩形面积的面积相加，即可得到曲边梯形面积的近似值。图3为任意分和任意取后的面积的变化规律图。

由图3可见，随着[0，1]区间的分点的增多，区间分割得越来越细，所求得的面积近似值越接近面积的真实值的1/3。以上实验结果验证了曲边梯形的面积的确与区间的分割无关（可任意分），与小区间的点ξk的选取无关（可任意取）。从而从数学实验的角度验证了定积分概念的正确性，加深了对积分思想和定积分概念的本质的认识。

3 结束语

数学实验可以将抽象的数学概念与理论实验化、可视化、直观化，通过多角度的展示引导学生观察、分析、思考，更好地理解这些抽象的数学知识，有效地消除学生对数学抽象性的恐惧，大大提高教学的效果与效率。本文通过对高等数学中定积分概念的实验教学研究，从实验验证的角度帮助学生更深刻地理解积分思想，领会定积分概念的本质。

参考文献

[1]朱健民，李建平.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李建平，朱健民，刘雄伟，等.高等数学课程实验[M].北京：高等教育出版社，2011.