实施“变异理论”,完善教学设计

一、研究的缘起与目的

“组合图形面积”这一内容旨在让学生学会运用已学基本图形面积公式和转化方法求解组合图形的面积，具体包括三个意义：其一，这一内容是对已学几何知识的综合运用；其二，这一内容为今后求解复杂和不规则图形面积奠定基础；其三，这一内容要求学生初步理解和掌握“转化”的数学思想，并在组合图形和基本图形之间有效转化。基于此，以“变异理论”为指导，在分析教学内容和学情的基础上，厘清要点，设计、完善教学环节，并通过“审辨——变异”的变异图式，最终突出教学重点和破解教学难点。

二、教学要点与学情分析

1.教学要点

“变异理论”强调，精细分析教学内容，厘清教学要点，根据需要学生审辨的内容，明确教学目标。针对“组合图形面积”这一内容，其教学要点有三个。其一，“组合图形面积”求解的基本思想是“转化”，即将组合图形转化为基本图形。其二，“有效转化”包括“图形有效”和“数据有效”。“图形有效”即将组合图形转化为已知计算方法的基本图形，具体方法包括：分割法、添补法和割补法。“数据有效”，即将组合图形转化为基本图形后，无法有效解决问题，还需相应的数据支持计算。其三，“组合图形面积”求解的方法多种多样，有繁简之分，这就需要分析和比较，最终选择简洁的计算方法。

2.学情分析

在教学“组合图形面积”这一内容之前，教师应对学生进行前测，以了解他们是否具备必要的知识基础。前测结果表明三点：其一，有75%的学生对梯形、平行四边形等基本图形面积公式基本掌握，并能正确运用；其二，有52%的学生在面积计算和单位转化等方面仍有困难，使得解题的错误率较高；其三，有50%的学生能把简单组合图形转化为基本图形，并准确地计算出面积。

通过分析可知，在教学“组合图形面积”这一内容时，其学情有四个特点：一是学生能在教师引导下，通过自主探索与合作交流的方式，探究多样化的解题方法；二是对解题方法的归类、分析与择优，还须教师的进一步指点；三是学生对图形的数据条件关注不够，时常不顾数据而转化图形，最后导致无效转化；四是学生不能灵活运用“转化”思想。

三、教学过程与教学心得

“变异理论”强调，学生在掌握教学内容的要点时，须围绕教学要点提供有序变异的学习情景。只有有序的变异，才能使教学要点成为学生关注的对象，才能达成审辨。有序变异的策略主要包括：“类比”“对比”“分离”与“融合”等。

1.教学过程

“组合图形面积”这一内容的教学包括两个教学环节：一是探索、归纳方法，二是运用方法与拓展。

（1）探索归纳方法

在“探索归纳方法”这一教学环节，其教学过程分三步：一是通过“类合”策略，归纳组合图形的含义；二是创设求解“组合图形面积”的教学情景（小华家客厅地面要铺木地板，请帮小华算出客厅的面积）。可先让学生独立思考，再进行全班交流；三是展示问题情景的有序变化，提出引导性问题，使学生逐步关注和理解不同要点——“转化”思想、“转化”方法、优选方法和“转化”要素。

具体教学步骤分五个阶段。其一，展示组合图形，提出问题（这些图形有什么共同特点），并进行全班交流，须明确审辨的关键属性（组合图形，即由基本图形组成；其形状各异）。在此，采用“变异理论”中“类合”（归纳）的策略。其二，小华家客厅的地面由若干组合图形构成，解题思路是加辅助线，提出问题（为什么加这些辅助线，它们的作用是什么），并进行全班交流，须明确审辨的关键属性（基本思路，即将组合图形转化为基本图形；由于组合图形不同，因此，所加辅助线不同）。在此，采用“变异理论”中“类合”（归纳）的策略。其三，要求学生采用多种方法添加辅助线，提出问题（这些添加辅助线的方法，其不同点和相同点分别是什么），并进行全班交流，须明晰审辨的关键属性（“转化”方法，即分割法、添补法和割补法；“转化”方法因教学情景和图形的不同而不同）。在此，采用“变异理论”中的“对比”和“类合”策略。其四，要求学生审视不同的添加辅助线的方法，提出问题（哪种添加辅助线的方法比较简便），并进行全班交流，须明晰审辨的关键属性（通过对比，选取最佳方法；“转化”思想的运用以简便为本）。在此，采用“变异理论”中的“对比”策略。其五，展示已添加辅助线的图形，提出问题（为什么有些图形添加的辅助线有效，有些图形添加的辅助线无效）并进行全班交流，须明晰审辨的关键属性（将组合图形转化为基本图形，有效转化的要素有两个，即图形有效和数据有效。只有将有效图形和有效数据相结合，才能运用“转化”思想有效解题）。在此，采用“变异理论”中的“对比”和“分离”策略。

（2）运用方法和拓展

在“运用方法和拓展”这一教学环节，通过从易到难的不同例题的练习、分析和交流，使学生掌握根据各种组合图形的条件，有效添加辅助线，将组合图形转化为基本图形，标出隐含数据，选择计算方法，并进行正确解答。为了选择典型变异的题目作为例题，教师可对各类相关问题进行分析，并仔细归纳它们的难度（其难度主要取决于四个因素：基本图形的个数和形状、是否已添加辅助线、数据是否隐含或需要推算以及是否涉及其他知识背景），这四个因素构成了主要的变异维度。因此，教师在设计例题时，应尽量兼顾各种主要的变异维度，使例题难度由简到繁，逐渐加大，最终使学生在各种问题变式中审辨情景的变化和方法的变通。

2.教学心得

（1）灵活掌握

在教学了“组合图形面积”这一内容后，一些学生倾向于把某个基本图形（例如，梯形）当成组合图形，采用“转化”方法求解。此时，教师应引导学生采用基本图形的相应公式（梯形的面积公式）求解。因此，教师应提醒学生在采用“转化”方法解题之前，须先判定图形的属性，以灵活掌握所学知识。

（2）促进作用

运用“变异理论”对“组合图形面积”这一内容的教学过程进行精细调整，对教学成效具有一定的促进作用。其一，使学生较好地掌握“转化”方法，以确保大多数学生较好地解决中等难度的问题；其二，根据变异维度设计不同问题，使学生解决问题的灵活性和迁移性获得较大提升。

（3）存在的问题

在运用“变异理论”指导“组合图形面积”这一内容的教学中存在三个问题。其一，在将组合图形转化成基本图形时，须考虑数据有效，应提醒学生避免完全凭借直觉分割图形。其二，组合图形的“转化”仍有拓展空间。其三，涉及“组合图形面积”这一内容的题目属于综合性较强的题目，计算错误成为不少学生存在的问题，因此，亟待弥补此薄弱环节。

（作者单位：1.北京海淀区六一小学 2.北京师范大学教育学部）