倒推策略教学实践与思考

关于解决问题的“策略”，大多人认为它是介于数学思想与解题方法之间的一个概念。如何进行“策略”教学呢？定位低，教学难免落入传统应用题模式化窠臼；定位高，则会因为缺乏具体的支撑而不能为学生所接受。为此，我尝试以问题解决为突破口，让学生经历探究解题方法的过程，体验策略的价值，感悟一些基本的数 学思想，进而使具体的方法上升到策略的高度，发展数学思考。下面以“倒推”策略教学实践为例谈谈我的一些思考，就教于同行。

一、在猜数游戏中初识“倒推”

师：（出示一张卡片）老师在这张卡片上写了一个数，谁愿意猜猜这个数是多少？

学生摇头，表示没法猜。

师：是啊，一点信息都没露，真是没法猜。那好，老师就给你们透一点风，看你们能不能猜到。（一些学生表示肯定能）这个数经过几次变化后正好是20。现在能猜到吗？

生1：老师，你要是讲出它是怎么变的，我肯定能猜到。

师：告诉你是怎么变的，真能猜到吗？

出示： ×2-4÷3

20

师：谁能说说这个数经过了哪几次变化？

生2：三次变化。第一次乘2，第二次减去4，第三次再除以3。

师：很好。因为这个数发生了三次变化，所以用三个“”表示。请问，每次变化的结果相同吗？你知道哪次变化的结果？

生3：每次变化结果不同。

生4：知道第三次变化的结果是20。

师：请同学们好好想一想，原来卡片上的数是多少？生5：20×3=60 60+4=64 64÷2=32

师：结果对吗？

生6：对。32×2=64 64-4=60 60÷3=20。

师：能具体说说每一步算的是什么吗？

生5：先算出除以3之前是多少，再算减去4之前是多少，最后算出乘2以前是多少。

生6：先算第二次变化的结果，再算第一次变化的结果，这样就能算出原来的数了。

师：好。像这样从现在的结果推算到最初卡片上的数，就是我们今天要学习的解决问题的策略――倒过来推想。

设计意图：利用以往认识过的题型引入倒退策略，直奔主题，自然简洁。“这个数经过几次变化之后是20，现在能猜到吗？”自然激起学生急于知道“怎么变的”欲望，为引导学生重视发现变化过程作了必要铺垫。组织学生交流解题思路，使揭示课题的环节水到渠成。至此，学生对“倒过来推想”已有了初步的认识。

二、在解决实际问题的过程中进一步认识策略

1.出示例题（教科书第89页例2）

小明原来有一些邮票，今年又收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？

（1）学生读题后，教师提问：问题是什么？

生1：原来有多少张邮票？

师：看到“原来”，你会想到什么？

生2：现在。

师：原来和现在不一样吗？为什么？请大家将变化的过程理一下，用简单的形式表示出来。

（2）呈现整理结果。

生1：原来的张数收集了24张送人28张还剩52张

生2： +24张-28张

52张

师：同学们，能看懂它们所表示的意思吗？

生3：原来有一些邮票，收集了24张，就是增加了24张，送给别人28张，就是减少了28张。

师：你们认为哪种整理方式简洁呢？

生3：（指着生2）××的最简洁。

师追问：第一个表示什么？第二个方框表示什么？

生4：第一个方框代表原有的张数，第二个方框表示收集了24张后有多少张，最后52表示送给别人28张后，还剩52张。

师：原来有多少张邮票，能找到吗？谁来说说自己是怎么想的？

生5：我先把剩下的和送人的加起来，再减去收集的，就等于原来的张数。

随着学生的回答，教师板书算式：52+30=82（张）

82-24=58（张）

师：有道理，但是结果正确吗？

很快有学生举手：把58张加上24得82，再减去30，正好得52张。

师：还有不同的方法吗？

看到学生困惑，教师提示：想想是现在的邮票多，还是原来的多呢？为什么呢？

生1：30-24=6（张） 52+6=58（张）

师：得数与前面一样，是巧合吧？这样推算有道理吗？

生1：送人的比收集的多6张，所以现在的邮票比原来少了6张。

师：你们听懂他的意思了吗？

教师再指名叙述。

（3）组织总结

解决这样的问题，先要弄清变化过程，再倒过来推想，然后顺着验证。

2.反馈练习

（1）出示习题

小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多一张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？

（2）学生练习后交流

生1：我先算出一半是25-1=24，再乘2得到48，就是原来的张数。

生2：不对，应该是25+1=26 26×2=52

师：还有不同的吗？这么说有两种不同的答案了？

生3：我验算了。原来有52张画片，不是48张。

师：为什么是这样呢？

生3：送给别人一半还多一张，剩下的就是比一半少一张，所以一半是（25+1）张，而不是（25-1）张。

师：对。送出去的多，剩下的就少。谁能总结一下是用什么策略解决这道题的？

生4：倒推。根据剩下的先算到原来的一半，再算出原有的张数。

（3）变式练习：把上题中的“还多一张”改为“还少一张”

设计意图：教材中两个例题比较简单，学生基本上能根据经验找到答案。这样的安排有利于引导学生把重点放在体验与归纳策略上。但是例1中变化的是两个量，例2中是一个量发生变化，即单线条变化，所以，我把例2的教学放在前面，这样能更好地贴近学生的最近发展区，有利于学生体会“倒推”策略运用的情境。

教学中，我设计了一连串问题，目的在于突出弄清变化的过程是实施“倒推”的必经之路，其中不仅凸显了因果思想，也渗透了假设思想。如，“要是不送给别人28张，他会有多少张呢？”这种假设思想在解决实际问题时有广泛的应用价值。

学生经常将“方法”和“策略”看作同义词，其实它们是有区别的，但怎样让学生体会到呢？教学例题时，我组织学生讨论两种解法的共同之处是“根据变化的过程从现在推算到原来”，两种方法的解题策略都是倒推，只不过是解题的具体思路不一样。

反馈练习中，我再次突出理清变化过程这个重点，然后放手让学生尝试。当然这道题比例题增加了难度，难在对“比一半还多一张”的理解上。关于这一点，教师没有过早介入提示，所谓“不愤不悱”。学生汇报交流的过程，则较好地给予释疑，相信学生能认真地理解与体会。通过变式练习，应该能深化理解。同时，教师接着学生的回答，补上一句：“送出去的多了，剩下的就少了”，启发学生从“变”的角度去思考，将数学思考与生活中的常理联系起来，使学生体会到数学中的“理”与生活中的“理”是相通的。

教学反思：努力发掘教学素材中所包含的数学思想方法，为有效引导指明方向。每种解决问题的策略总有其适用的条件，作为倒推策略，适用情境为量的变化。因而以“变与不变”的思想为指导，让学生发现量的变化过程，是教师设计一系列提问的指针。在前一例题中，教师侧重于学生发现变的过程，为顺利实现倒推打下基础；后一例题教学中，不仅让学生发现变量，也让学生发现不变量，渗透着变与不变的相对性与统一性，旨在培养学生从不同角度思考问题。

策略教学重在体验感悟，培养应用意识。所以在教学中，设计变式练习，组织观察比较、讨论交流，让学生充分表达个人的想法，互相启发，有助于提高思维的深刻性。

（作者单位 安徽省池州市贵池区马衙中心学校）