三角恒等变换的解题方法

摘 要： 三角变换是三角运算的灵魂与核心，包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.三角函数的化简、计算、证明的基本思路是：一角二名三次数四结构.首先，观察角与角之间的差异，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次，看函数名称之间的差异，通常切化弦；最后，观察三角函数式的整体结构特征，整体变形采用公式.

关键词： 角变换 名称变换 结构特征变换

一、角的变换

已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.常见的有：

例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0

解：0

又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，

cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .

cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .

小结：给值求值问题，即由给出的某些函数关系式（或某些角的三角函数值），求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.

例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求证：tan（α+β）=2tanα.

证明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.

小结：三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用.

二、名称的变换

例3：已知tanα=2，求下列代数式的值.

（1）

解：原式= =

小结：关于sinα、cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值.

（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α

解：原式=

= = =

小结：注意表达式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1=sin2α+cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式.

三、结构特征的变换

例4：求值：

解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°

=tan（30°+45°）= = =2+ .

小结：注意常值代换.如tan =1，tan = ，tan = 等.

要特别注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .

小结：熟记公式的结构，公式T（α+β），T（α-β）是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三个.tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），

学习三角恒等变换，千万不能只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.