抓住本质,品味概念

整数的运算给实数运算许多启示，整式的运算也会启迪我们探索根式的运算，而二次根式的运算又将涉及一些重要概念和性质，那我们就从这些抽象的概念开始，打开学次根式的大门.

一、 温故而知新

打开书本，映入眼帘的是一个熟悉的符号“”，同学们一定想到曾在八年级学习平方根的时候见过：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 一个正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根，记作“”.而在“二次根式”这一章中直接把二次根式定义为：一般地，式子（a≥0）叫做二次根式.对比这两个概念，很显然，二次根式与算术平方根之间有着十分密切的联系.因此，我们学次根式的时候，可以将平方根、算术平方根的相关知识与二次根式作对比，不仅有利于对二次根式这一新概念的认识，也有利于加深对二次根式和算术平方根的区别与联系的了解.

二、 抓住本质，品味概念

1. 二次根式概念的理解

（1） 二次根式与算术平方根的联系

例1 代数式中，自变量x的取值范围是_______.

【思路点拨】确定自变量x的取值范围，关键要找到含有x的式子所处的位置，根据“二次根式的被开方数大于等于0”和“分式的分母不为0”来列出不等式（组）.

解：x≥-1且x≠0.

【注】二次根式的定义决定了所有涉及二次根式的问题，必须确保被开方数（式）的非负性，这一点必须予以重视，并在以后的学习中不断强化.

（2） 二次根式与算术平方根的区别

二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有“”，没有“”的式子都不是二次根式. 这揭示了二次根式和算术平方根的区别.

例2 下列式子：，，，，，其中二次根式有_______.

【思路点拨】 虽然含有“”，但被开方数-3小于0，没有意义，故不是二次根式，而中，无论x为何值，x2+1总大于0，故是二次根式.

解：二次根式有，，，.

【注】是二次根式，虽然=3，但是3不是二次根式，因为它不含“”.

2. 最简二次根式

对于“最简二次根式”的概念，要紧扣“最简”二字，不仅要知道其需要满足的三个条件：（1） 被开方数中不含能开得尽方的因数和因式；（2） 被开方数中不含分母；（3） 分母中不含有根号，更为重要的是在遇到具体式子时能够迅速准确地作出判断，并用相应的手段加以化简.

例3 在根式：①；②；③；④中，最简二次根式是_______.

【思路点拨】判断最简二次根式，关键要看其是否满足三个条件，若被开方数是多项式，有时需要因式分解后再作判断. ②的被开方数含分母，④中“27”含有开得尽方的因数“9”，故它们都不是最简二次根式.

解：最简二次根式是①③.

3. 同类二次根式

经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式. 很显然，判断同类二次根式的前提是要先化简，其次是看被开方数是否相同，根指数是否为2次.

例4 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）.

A. 和

B. 和

C. 和

D. 和

【思路点拨】确定同类二次根式之前，要先判断是否是最简二次根式，若不是，应先化简.选B.

4. 分母有理化及有理化因式

把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式. 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，常常可以化去分母中的根号，以达到化简的目的.

【思路点拨】在分母有理化的过程中，如果分母是二次根式，可以先化到最简二次根式后再确定有理化因式；如果分母是含有二次根式的和的形式，则应根据平方差公式中的两个因式的特点（一项相同，另一项相反）来确定有理化因式.

二次根式是初中重要而又比较抽象的基础知识，同学们只要能类比过去学过的知识，抓住其本质，在练习中不断地品味各个概念，就一定能轻松扎实地学好本章知识.