基于GARCH的VaR模型在国债风险个案分析中的应用

内容摘要：本文利用GARCH 和VaR模型对上海国债市场的个案进行分析，具体包括GARCH模型的事前估计和分析，模型参数估计与最优选择，GARCH模型计算VaR。结果显示该国债在样本期内的变动性状，并结合实际政策进行了分析和论证。

关键词：VaR GARCH 沪市国债

本文基于GARCH和VaR模型对沪市国债市场的个案进行了相关分析，以期显示国债在样本期内的变动性状。

VaR模型

VaR是国际上新近发展起来的一种卓有成效的风险量化技术，它是英文Value-At-Risk的缩写，中文通常译为在险价值， VaR模型通常被称为风险估值模型。对它的一种较为通俗的定义是：未来一定时间内，在给定的条件下，任何一种金融工具和品种的市场价格的潜在最大损失。确切的说，VaR可表示为：

Probt（P＞VaR）=1-C

其中P为证券组合在持有期t内的损失，C为风险测量的置信水平，VaR为此置信水平下处于风险中的价值。根据定义，VaR实际上是要度量估测“正常”情况下资产或资产组合的预期价值与在一定置信区间下的最低价值之差，即

VaR=wo[E(r)-r*] （1）

其中，wo为持有期初资产组合的价值，r为收益率，E（r）为资产组合的预期收益率，r*为一定置信区间C下最低的收益率。

计算VaR最关键也是最困难的问题是确定资产报酬的分布形式，以找到特定分布的一定置信区间C下的最低收益率r*。如果收益率序列{r}服从正态分布，要想求出给定置信水平C下的r*，只要利用正态分布表找到标准正态分布的一个上分位点Z，使得：

，

根据正态分布的性质得出：

其中，μt为收益率序列的期望，而

为标准差，即可得到与置信度C相对应的r*，即

（2）

将公式（2）代入公式（1），可得到一般求解VaR的方差协方差模型，即

（3）

由此可知，一般的测算VaR方差协方差模型，通常假定收益率序列服从正态分布。而现实中，国债收益率序列是否满足这一假定，需要进行收益率序列的正态性检验。目前常用的估算VaR模型波动率的方法有移动平均法、GARCH模型和隐含波动率法，移动平均法假设资产收益率的波动服从白噪声过程，这一假设与实际的观察结果常常不一致，隐含波动率则只能运用于有期权产品的资产，因此本文采用GARCH模型方法。

GARCH 模型

近几年，许多金融实际数据表明：市场在一定时期内有较大波动，为解决实际分析中存在的异方差现象，ENGLE于上世纪80年代初提出了ARCH模型(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)，即自回归条件异方差模型。Bollerslev又于1986年提出广义的ARCH模型，即GARCH模型(Generalized ARCH)，其形式为：

(4)

(5)

其中rt为收益率的时间序列，Vart-1(εt)为εt的条件方差。（5）式中系数有关系：

＜1，α＞0，Gi＞0，Aj＞0

我们称这样的模型为GARCH（P，Q）模型，模型中的（4）式描述了模型的条件期望部分，投资者在交易中所得到的信息依赖于过去时刻的收益率以及过去时刻预期收益和实际收益间的误差；（5）式描述了模型的条件方差部分，它不仅是滞后随机扰动项平方的线性函数，还是滞后条件方差的线性函数，表明了过去时刻的波动对未来价格波动有着正向缓解的影响，从而模拟了波动的集群性。

实证前的分析

由于上证国债指数自2003年1月2日起对外，可考察样本期太小。故挑选其中个股考察，经比较，20国债（4）具有较强的代表性，考察其从2001年1月2日到2004年5月11日每日的收盘价，共795个样本。关于收益率公式，本文采用：

（6）

统计样本均值为-3.1567×10-5，其标准差为0.0021，其样本偏度为-0.0310，其样本峰度为13.0043，从中可以看出国债收益率序列的经验分布频率与相应的正态分布相比，具有尖峰宽尾的特征，这正是非线性的显著特性。这说明不能用简单的正态分布来模拟国债收益率的变化。考虑到条件正态分布既保留了正态分布的特点又能更好地对收益率进行模拟，在此引入条件正态分布，并应用GARCH模型来计算时变的条件方差ht，代入公式（3），可得出计算我国国债市场的VaR值：

VaRt=Pt-1Zα （7）

其中，Pt-1为前一日国债价格，Zα是置信度为标准正态分布的临界值，当α=0.05时，Zα=1.645，ht是国债收益率序列的条件方差。 则是标准差。

使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数(PACF)对收益率序列的自相关性进行分析后，发现在大部分时滞上函数值在置信区间内0附近上下波动，所以收益率序列并不具有自相关性，因此在条件期望模型中不需要引入自相关性的描述部分，于是收益率rt由一个常数项C加上扰动项εt组成，其中Eεt=0，即rt=C+εt。

尽管收益率序列的ACF值揭示了其弱相关性，但收益率的平方的ACF值却表现出了一定的自相关性，在时滞为1时呈现显著自相关性。最后对相关性进行定量检验，使用ARCH检验和Q检验。

在不存在序列相关的假设下，Q统计量和ARCH检验的统计量近似服从x2分布。对收益率序列进行Q检验，发现时滞为10，12，15时的P值分别为0.2747，0.2560，0.2938均大于0.05的显著性水平，说明接收原假设，不存在明显的序列相关性。

但是在对收益率平方进行Q检验时，在0.05的显著水平下时滞为10，12，15的P值均为0，收益率方差存在非常明显的序列相关性。结果证实了收益率序列具有GARCH效应，说明国债价格收益率序列具有异方差性，因此使用GARCH建模是合适的。

模型参数估计与选择

GARCH(1，1)模型参数估计结果如下：rt=-0.00010954+εt；

(-1.7528)

σt2 =1.6117×10-6 +0.1851σ 2 t-1+0.599εt2

(13.6621) (4.7064) (10.2098)

括号中为t统计量，可以看到G1，A1在0.05的显著水平下明显地异于零，说明此国债收益率过去时刻的波动大小对当前波动大小有明显的影响，此外G1+A1

对模型进行最优选择，使用AIC和BIC信息准则来比较可供选择的GARCH模型。对各种模型的检验如表1，发现随着参数的增加，AIC，BIC值并没有显著增加，直观上说明可选用较为简单的GARCH(1，1)来建模。

此外，用似然比检验进行定量分析，假设选用GARCH(1，1)建模可以达到良好效果，通过计算发现在显著水平为0.05的条件下，P值为1.0000，因此接受原假设，证实了选择GARCH(1，1)来拟合收益率序列的易变性是合适的。

求解VaR并结论

就此本文完成了对GARCH(1，1)模型确定前的检验，开始代入收益率序列进行计算，利用公式(7)，计算得到沪市20国债（4）每日VaR值，该值给出了该国债在一置信概率下的最大损失下界。

计算所得沪市20国债（4）每日VaR值的基本统计特征，偏度为2.3192，峰度为11.8328，均大于0，表明该序列与标准正态分布有一定偏离，且具有右偏、高峰特征，说明在国债的日VaR值中，低于按其自身时间序列计算的平均VaR值天数较多。

由表2可以看出，沪市20国债（4）最大前十名VaR主要集中在2002年4月（5，8，9日），2002年7月（2，3，4日），2002年9月（12，13日），2003年11月（19，21日），这说明2002年对于这个国债来说，其总体风险较其他年份为大，而且日期都相对集中，证实了异方差模型的波动群集效应。

分析这些时段的风险极大的原因可以发现，将20(4)国债放到我国证券市场的宏观背景下来分析将得出一些变动的原因。我国国债市场主要的成因来自于政策风险，如2002年4月份那次，是由于4月5日证监会、国家计委、国家税务总局联合发文，决定自5月1日起调整证券交易佣金收取标准。佣金浮动对证券业的冲击强度几乎前所未有，导致券商之间的竞争更为激烈。因而在国债市场引起较大冲击，而使国债风险波动较大。

而2002年6月20日，上海交易所公布将于7月1日正式推出上证180指数，取代原来的上证30指数，为建立我国权威统一指数迈出了重要一步，为今后股指期货的推出打下了基础。该政策公布后，在6月24日行情中引领大盘蓝筹股大幅上扬。这也使得相应的国债市场风险波动剧烈。这些政策变化都反映在沪市20国债（4）这支个股上，其波动性状折射出中国国债市场受政策影响的一角。

参考文献：

1.王洪礼，李胜朋，李栋.Garch-M模型的沪市险值实证研究.天津大学学报，2005.5

2.王玉荣.中国股票市场波动性研究－ARCH模型族的应用.河南金融管理干部学院学报, 2002.5

3.阎海岩.中国股市波动性研究.统计与信息论坛，2004.5

4.叶青.基于GARCH和半参数法的VaR模型及其在中国股市风险分析中的应用.统计研究，2000.12