对一道解析几何题目的分析与改编

题目：已知直线l∶x+3y-2=0顺次交x轴与曲线y=x2于三点N，P，Q，如下图所示过Q点作直线l′l交曲线y=x2于点M，求曲线y=x2在M处切线方程。

解：令y=0，则x=2，所以，N（2，0）

联立x+3y-2=0y=x2可得：3x2+x-2=0，方程两根x1= ，x2=-1即

P（ ， ），Q（-1，1）

又kl=- ，所以kl ′=3，可得直线l′方程∶y-1=3（x+1）即3x-y+4=0

联立3x-y+4=0y=x2可得x2-3x-4=0方程两根x3=-1，x4=4

即M（4，16）

所以，曲线y=x2在点M（4，16）处切线斜率为8

则切线方程为：y-16=8（x-4），即8x-y-16=0

在作图及解答过程中，可以发现，所求切线刚好经过直线l∶x+3y-2=0与x轴交点N（2，0），此特殊情况引起笔者的浓厚兴趣，是否此结论对于曲线y=x2有一般性结论？于是对题目做出如下探究及变化：

笔者尝试利用已知题目固定曲线上某一点P，

改编1：曲线y=x2上一点P（ ， ），过点P作直线l交曲线y=x2于点Q，交x于另一点N，再过点Q作直线l′l，且l′交y=x2于点M。若直线MN恰好为y=x2的一条切线，试求直线l方程。

解：设直线l∶y- =k（x- ），令y=0，可得x= - ，所以N（ - ，0）

联立y- =k（x- ）y=x2可得x2-kx- + k=0，记Q（x0，y0）

由韦达定理：x0+ =k， x0=- + k，所以x0=k- ，所以Q（k- ，（k- ）2）

则直线l′方程为：y=（k- ）2=- [x-（k- ）]

联立y-（k- ）2=- [x-（k- ）]y=x2

可得x2+ x-（k- ）2- =0

利用韦达定理：M（- -k+ ，（- -k+ ）2）

所以曲线y=x2在点M处切线斜率为2（- -k+ ）

即在点M处切线方程为：

y-（- -k+ ）2=2（- -k+ ）[x-（- -k+ ）]

因为切线经过点N（ - ，0），代入切线方程，可得：

-（- -k+ ）2=2（- -k+ ）[ - -（- -k+ ）]

化简得9k2+6k+1=0得k=-

所以，所求直线l方程为：x+3y-2=0

是否对曲线y=x2上任意一点，均有以上结论？笔者尝试对题目再次修改：

改编2：已知函数y=x2上任意一点P（t，t2），t>0，过P点作一直线l交曲线y=x2于点Q，且直线l与x交于点N，过Q作直线l的垂线l′交曲线y=x2于另一点M，此时MN所在的直线恰为y=x2的一条切线。求能满足上述条件的t的取值范围。

解：设P（x0，y0）则直线PQ可设为y-y0=k（x-x0），记y=0，可得x=x0- ，所以N（x0- ，0）

联立y-y0=k（x-x0）y=x2可得x2-kx-y0=0，记Q（x0，y0）

由韦达定理：x0+t=k，所以t=k-x0，所以P（k-x0，（k-x0）2）

则直线l′方程为：y-y0=- （x-x0）

联立y-y0=- （x-x0）y=x2

可得kx2+x-ky0-x0=0

利用韦达定理：M（- -x0，（- -x0）2）

所以曲线y=x2在点M处切线斜率为2（- -x0）

即在点M处切线方程为：

y-（- -x0）2=2（- -x0）[x-（- -x0）]

因为切线经过点N（x0- ，0），代入切线方程，可得：

-（- -x0）2=2（- -x0）[x0- -（- -x0）]

化简得k= ，又t=k-x0所以t= -x0=

= =-（ ）≥2 =

当且仅当- =- ，即x0=-1时取得等号

综上，可知t≥ 。