巧用对称性解函数题

【摘要】对称，分为点对称、图象本身对称和图象与图象之间对称。利用这些对称解有关函数题灵巧简捷，使函数问题直观明朗，变抽象为简单。

【关键词】对称 图象 函数

对称性是函数的重要性质，在解函数题时，把握好这一性质，解题会事半公倍。函数图象的对称有如下几种：

1.点的对称

设点P（x ，y）是直角坐标系内任意一点，则

（1）点P（x ，y）关于x轴的对称点为P1（x ，-y）；

（2）点P（x ，y）关于y轴的对称点为P2（-x ，y）；

（3）点P（x ，y）关于原点的对称点为P3（-x，-y）；

（4）点P（x ，y）关于直线y=x的对称点为P4（y ，x）。

2.函数图象本身具有的对称

（1）偶函数y=f（x） 的图象关于y轴对称。满足 恒成立（图1）。

（2）奇函数y=f（x） 的图象关于x 轴对称。满足 恒成立（图2）。

（3）函数y=f（x） 的图象关于直线 x=a（a ∈R）对称。满足f（a-x）=f（a+x） 恒成立（图3）。

3.函数与函数图象之间的对称

（1）函数y=f（x）与函数y=-f（x） 的图象关于x轴对称，即以-y代换y；

（2）函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于y轴对称，即以-x代换为x；

（3）函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于原点对称，即以-x、-y分别代换x， y；

（4）函数y=f（x）与函数y=-f-1（x）的图象关于直线y=x对称，即x与y互换。

例1：将函数y=f（x）的图象向左平移a（a>0）个单位于得到图象C1，且C1和C2的图象关于原点对称，求C2的解析式。

解： 函数y=f（x）的图象向左平移a（a>0）个单位于得到图象C1

C1的解析式为：y=f（x+a）

C1和C2的图象关于原点对称

C2的解析式为： -y=f（-x+a）

即y=-f（a-x）

例2：已知函数y=2x-1与y=g（x）的图象关于y轴对称，求y=g（x）的表达式。

解：以-x代换y=-2x-1中的x，得：

g（x）=-2x-1

例3：函数f（x）在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=x（x-1），

求x∈（0，+∞）时，f（x）的表达式。

解： 函数f（x）在（-∞，+∞）上为奇函数

y=f（x） 的图象关于原点对称

以-x和-f（x） 分别代换f（x）=x（x-1） 中的x和f（x），得：

-f（x）=-x（-x-1）

当x∈（0，+∞）时，f（x）=-x（x+1）

例4：点P（0，1）和Q（2，3）都在函数y=ax+b 的反函数图象上，求a、b的值。

解：函数y= ax+b图像与它的反函数图象关于直线y=x对称

P（0，1）和Q（2，3）关于直线y=x对称点为P1（1，0）和Q1（3，2）

P1和Q必在函数y=ax+b的图象上

a+b=03a+b=2解之，得a=2b=-2

例5：设有三个函数，第一个函数是y=g（x），它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0 对称，求第三个函数的的表达式。

解：设P1（x ，y）是第一个函数y=g（x） 图象上的任意一点，则依题意P2（y ，x）是第二个函数图象上的点

P2（y ，x）关于直线x+y=0的对称点P3（-x，-y）在第三个的函数的图象上

第一个函数的图象与第三个函数的图象关于原点对称

第三个的函数的表达式为y=-g（-x）

例6：已知函数y=f（x），x∈R，满足f（x-2） =f（8-x）且f（0）=1，求f（6）.

解：f（x-2）=f（8-x）

函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称

（0，1）关于直线x=3对称的点坐标为（6，1）

f（6）=1

纵观上述，利用有关函数图象的对称性解某些函数题，更突显解题方法的灵巧简捷。它将函数图象直观简单化、函数问题直观明朗化，以形助数，探索解题思路。当然，解题时还应做到沉着冷静、认真审题；抽象问题具体化、复杂问题简单化；积极思考，确定解题策略并付出诸实施。只有这样 “协同作战”，才能有效地解决题目中的问题。