巧用函数模型解抽象函数题

抽象函数问题，常以某个基本函数为模型设计或编拟.在解答抽象函数问题时，若能根据题设条件所给的结构式特征，寻找出抽象函数的模型函数，根据模型函数的图像与性质，找出问题的解法或证法，是一种行之有效的好方法.下面结合例题进行分类说明.

一、正比例函数型――结构式特征：f（x+y）= f（x）+f（y）

例1 已知函数y= f（x）对于任意实数x，y均有f（x+y）= f（x）+ f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，-1]上的值域.

分析 由题中所给结构式的特征f（x+y）= f（x）+f（y），我们联想到正比例函数的运算法则，其在定区间[a，b]上的值域自然由其增减性不同分别为[ f（a），f（b）]或[ f（b），f（a）].于是，本题首先是确定出函数f（x）的单调性.

解 设x1，x2∈[-2，-1]，且x1< x2，则有x2-x1>0，f（x2-x1）>0，f（x2）- f（x1）= f [（x2-x1）+x1]- f（x1）= f（x2-x1）+ f（x1）- f（x1）= f（x2-x1）>0，即 f（x1）< f（x2），于是可知函数f（x）在[-2，-1]上单调递增，所以fmin（x）= f（-2）= f [（-1）+（-1）]= f（-1）+ f（-1）=2 f（-1）=-4， fmax（x）= f（-1）=-2.

所以，函数f（x）在区间[-2，-1]上的值域为[-4，-2].

小结 以正比例函数为模型的抽象型函数问题，主要就是利用函数的单调性来解答.判断抽象型函数的单调性，一般情况下是利用f（x2）- f（x1）= f [（x2-x1）+x1]- f（x1）进行判断.

二、指数函数型――结构式特征： f（x+y）= f（x）・f（y），x，y∈R

例2 设函数y= f（x）的定义域为R，且对任意实数m，n，总有f（m+n）= f（m）f（n），且当x>0时，0< f（x）

（1）证明：f（0）=1，且当x1.

（2）证明：函数f（x）在R上单调递减.

分析 由题设所给结构式特征f（m+n）= f（m）・ f（n），m，n∈R，可知已知函数的模型函数为指数函数.再由x>0时，0< f（x）

证明 （1）在f（m+n）= f（m）f（n），m，n∈R中，令m=1，n=0，得f（1）= f（1）f（0），即f（1）[ f（0）-1]=0，但 f（1）≠0，故必有f（0）=1.设x0，令m=x，n=-x，将其代入条件式有f（0）= f（x）f（-x）=1，f（x）= .由x>0时，0< f（x）0时，0< f（-x）1，即当x1.

（2）设x10，所以0< f（x2-x1）

小结 以指数函数为模型的抽象型函数问题，主要利用函数的单调性及函数值在自变量x满足0

三、对数函数型――结构式特征：f（xy）= f（x）+f（y）或f（ ）= f（y）- f（x）（x>0，y>0）

例3 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x，y∈（0，+∞）都有f（xy）= f（x）+ f（y）成立，且当x>1时，f（x）< 0.若f（ ）=2，试求不等式f（3x2-x-2）>1的解.

分析 欲解不等式，我们需判断函数f（x）的单调性，然后将欲解不等式转化为一般不等式来解.

解 设0 f（ ）.由单调性可知3x2-x-2< ，且3x2-x-2>0.解联立的不等式组，得

小结 解抽象函数不等式，首先要判断函数的单调性，同时注意函数的定义域，如上式中的3x2-x-2>0，千万不要丢掉.

四、幂函数型――结构式特征：f（xy）= f（x）・f（y）

例4 设定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（x）>0，f（xy）= f（x）・ f（y），且当x>1时，f（x）>1，又 f（2）= ，试求不等式f（x2-3x）> 2的解.

分析 欲求抽象函数不等式的解，必须判断出此函数的单调性，对已知条件进行适当配凑并根据函数单调性的定义可解决问题.

解 设0< x11.由已知得f（ ）>1，所以f（x1）- f（x2）= f（x1）- f（ ・x1）= f（x1）- f（ ）・ f（x1）= f（x1）[1- f（ ）].由于 f（x1）>0，1- f（ ）2即为x2-3x>4，且x2-3x>0，解得x>4.

小结 根据抽象函数的单调性解答是“脱去”函数符号“f ”的有效方法，而函数单调性的证明，需根据定义并对已知条件进行适当的配凑，这样才能达到目的.同学们必须把握好配凑的常用方法.

五、余弦函数模型――结构式特征： f（x+y）+ f（x-y）= 2 f（x）f（y）

例5 设函数f（x）定义在R上，对任意x，y∈R，都有f（x+y）+ f（x-y）=2 f（x）f（y），且f（0）≠0.若存在常数c，使f（ ）=0，试问：函数f（x）是否为周期函数？若是，求出它的一个周期，并判断函数的奇偶性；若不是，请说明理由.

分析 由题意很难发现函数f（x）的周期性，这时我们联想到三角公式，发现f（x）=cos x满足条件，由此猜想出函数f（x）是以2c为周期的函数.

解 由于f [（x+ ）+ ]+ f [（x+ ）- ]=2 f （x+ ）f（ ）=0，即f（x+c）=-f（x），所以f（x）= f（x+2c）.所以，函数f（x）是以2c为周期的函数.

令x=0，y=0，则有f（0）+ f（0）=2 f 2（0），即f（0）= f 2（0）.又f（0）≠0，所以f（0）=1.再令x=0，则f（y）+f（-y）=2 f（0）f（y）=2 f（y），即f（-y）= f（y），所以函数f（x）为偶函数.

小结 用熟悉的函数模型的性质猜想出函数f（x）的性质，然后进行有针对性的证明，从而获得正确判断. （责任编校？筑周峰）