基于LELAND―LOTT思想双币种期权定价

【摘 要】本文利用期权复制、无套利对冲原理、计价单位转换、随机微分方程等工具，对具有交易费用的双币种期权的定价进行了探讨。得到了支付交易费用的双币种期权所满足的偏微分方程和定价公式。

【关键词】双币种期权；交易成本；Leland期权定价；随机微分方程

期权是一种重要的金融衍生工具，自它在金融市场中出现，其定价理论及定价方法一直备受关注。随着全球经济一体化和金融一体化的深入，投资者可以投资境内的股票市场，也可以投资境外的股票市场，为了满足投资者的不同需求，各种期权应运而生。双币种期权就是其中的一种，其收益不仅依赖于外国资产价格的变化，还受到汇率波动的影响。因此对双币种期权在更加符合实际的假设下对其进行定价研究，具有重要的现实意义。

1 Leland-Lott的思想

在连续时间的B-S模型框架下，假设在给定时间间隔进行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本因素的项，使得波动率的增加导致的期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对B-S公式进行修正，使之仍可用于避险操作。他的模型假设标的股价波动服从离散的标准对数正态分布；在固定的时间间隔对资产组合进行调整；交易成本与交易量成固定比例k。将这些离散时间下的结论进行扩展，考虑比例交易成本的影响，得出使用修正波动率的期权定价公式。他要求交易的费用比较小且对冲的过程不可进行的太频繁。本文借鉴Leland-Lott的思想，考虑了固定汇率制度下有交易费用的双币种交换期权定价。

2 基于leland-lott的思想的双币种期权模型

2.1 基本模型及假设

设用国外货币表示的标的资产价格为X，这个变量和交易市场满足下面假设的条件：

①股价适合离散时间的随机过程

②买卖股票需要按股价支付比例交易费kvX，其中v是交易股票的份额，v>0是买进，v

③对冲的投资组合的期望回报率等于无风险利率。

④对卖空没有任何限制。

⑤无税收，无套利机会。

⑥证券可以无限细分且证券交易是连续的。

⑦期权为欧式的，即只能在到期日履约。

2.2 有交易费用的双币种期权价值微分方程

设Vff（X，F，t）是用国外货币度量，依赖于国外货币表示的标的资产X，固定汇率F以及时间为t的有交易费用的双币种期权的价格，它所满足的偏微分方程为：

定理：用国外货币表示，依赖于国外货币表示的标的资产X，固定汇率F以及时间为t的有交易费用的双币种期权的价格Vff（X，F，t）=Vff满足下面的微分方程：

σ是股票的价格X的波动率。

3 结论

可以看出交易成本对双币种期权定价的影响与普通欧式期权相同 ，即仅仅增大了定价公式中的波动率，因此交易者可以认为有交易成本相当于在另外一个风险更大的市场上进行连续的无交易成本的情形，因此双币种期权的闭式解在有交易成本下仍然适用。由于定价公式是解析形式，故可以通过求出相应导数进行比较静态分析，从而得到其对应的各个避险参数。因而这种显示表达式和数值方法得到的数值解相比较就体现出了一定的优越性。而这些参数为投资者做出决策提供了依据，从而也促进了双币种期权的应用。

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