基于数学建模的“实践与综合应用”教学

摘要：自新课程实施以来，有教师把实践与综合应用上成了游戏活动课、手工劳动课、单元复习课、综合练习课等。从外部环境来看，评价考试中对该内容并不作为考查的要点，因此教师的重视不够，在平常教学中不免出现看图说话或只讲结论的现象，随意性较大。究竟这方面的内容该怎样把握与处理？　笔者以我执教的人教版教材六年级下册“确定起跑线”为例，略谈几点想法。

关键词：数学建模；实践与综合运用；“确定起跑线”

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）02-0161-02

1.精选问题，创设情境，激发建模需求

要建模首先必须对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，他们对实际问题进行简化和抽象有一定困难。这就需要教师对问题的提出进行巧妙设计。有的问题情境不能真实地在课堂中展现出来，可把问题情境模拟出来，让学生观察、思考。

谈话引入：

问题1：出示一红一绿两根绳子，一根弯曲，另一根直直的，猜一猜长短？

问题2：呈现单线跑道，提出：小玲沿着这一跑道跑了一周，她跑了多少米，怎么算？课件依次呈现6条跑道，学生观察跑道说说从中你了解到了什么？

问题3：　现在有6位同学同时进行400米比赛，他们站在同一起跑线上起跑公平吗？为什么？有什么办法使比赛公平？

交流：因为外圈弯道比内圈弯道要长，造成了每圈的长度不等。要使每人跑的长度相等，外圈的同学的起跑线要比内圈同学的起跑线向前移。

学生对跑道的设计原理并不了解。我们略作加工，创设了比较两根绳子长短的问题情境，由此引出小玲跑一周的长度，从单一直线跑道过渡到400米标准跑道，在研究跑道的处理方式上是从常规算出各跑道周长过渡到引起跑道周长差异的本质研究。学生不会感觉陌生，利用旧知识的感觉，巧妙突破重难点。如此设计既顺应学生的思路，构建“确定起跑线”的模型成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。也为后面学生进一步探究埋下伏笔。从数学建模的角度来看，对该模型作了铺垫，从而使建模成为可能。

2.充分感知，积累表象，培育建模的基础

追根溯源、层层剥笋，一层层的剖析也是多角度展开思维的方法。数学建模需确立顺序，当循序分析有了一定的顺序，思维便可以按一定顺序展开，分析的角度就能丰富起来。数学模型关注的对象是许多具有共同普遍性的一类事物，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。

2.1　确认400米

如果我们要在这个跑道上进行400米比赛，你觉得应该怎么跑呢？

提出问题：跑道也是有宽度的，沿着内侧线跑一圈和沿着外侧线跑一圈长度是不一样的。那请你猜猜看，到底沿着哪条线跑一圈正好是400米呢？

教师（结合课件演示）：到底怎样的一圈才是400米呢？（对于这个问题，田径竞赛规则中有专门的规定，第一道的长度是距离跑道内侧分界线0.3米作为计算线进行测量的。其余各条分道都是距离跑道内侧分界线0.2　米作为计算线进行测量的。）

出示相关数据：直径72　米；直道85.96　米；道宽1.25　米。

师生一起计算验证（突出直径=72+2个0.3　）。

（72+0.3×2　）×3.14+85.96×2=399.884　米（说明误差）

2.2　研究第二起跑线的位置。师：第二条跑道的长度又是沿着哪一条线进行测量的呢？　（　多媒体课件演示第二道计算线）。

提出问题：第一道的起点在这里，那么第二道的起点应该前移多少米呢？

学生计算后反馈。

（72+1.25×2+0.2×2）×3.14+85.96×2=407.106（米）

407.106-399.84=7.222（米）

小结提炼：前移多少就是求两道的周长相差多少。

质疑：　为什么会与第一道相差7.222米，

2.3　研究第三起跑线的位置。

师：如果又来一位同学，三个人进行比赛，该站在第三道的什么位置呢？

媒体演示第三道计算线，并引导学生猜想第三道的起跑线与第二道会不会还是相差7.222米呢？

学生计算验证：（72+1.25×4+0.2×2）×3.14+85.96×2=414.956（米）

414.956-407.106=7.85（米）

质疑：为什么第二道与第一道相差7.222　米，而第三道与第二道却相差7.85米呢？

2.4　研究其余起跑线的位置

课件演示第四道、第五道、第六道……起跑线，提问如果要用其它跑道到进行比赛，各跑道的起跑线之间又该相差多少米呢？

学生计算验证（研究第四起跑线位置）：

（72+1.25×6+0.2×2）×3.14+85.96×2=422.806（米）

422.806-414.956=7.85（米）

……

综合运用数学知识解决问题是发展学生数学思维的重要途径。当学生面对一个实际问题，尝试寻求"答案"时，不是简单地应用己知的信息，而是对信息进行加工，重新组织若千已知规则，形成新的高级规则，用以解决"问题"，"问题"一旦解决，学生的思维能力随之而发生变化。这一过程在综合应用"中尤为明显。因此，我们认为，综合应用教学中让学生经历解决问题的"过程"比得到"结果"更有价值。事实上，“确定起跑线”中学生的探究经历了从“重结论”到“重过程”的思路转化。

3.组织跃进，抽象本质，完成模型的构建

实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡，是数学教学的任务之一。但要注意的是，具体生动的情境问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视从具体到抽象的跃进过程的有效组织，那就不成其为建模。如在“确定起跑线”一课中，我们通过以下设计，借助图形抽象本质，完成模型的构建。

师：不通过计算，你能说明也是7.85米吗？引发比较质疑。

借助课件，显示相邻跑道周长的差，就是两个内外圆周长的差。

即："2×3.14×1.25"

并借助于下图，揭示规律：

C差　＝πD　-πd

＝π（D-d）　（D-d是跑道宽的2倍）

＝2π×跑道宽

在从第一跑道到第四跑道层层"剥笋"之后，运用比较的思维方法，对四条跑道的计算方法，辨别它们的相同点和不同点。比较的目的是认识四次不同跑道计算的联系和区别，明明确彼此之间存在的同一性与相似性，以便揭示其背后的共同模型。同时，在比较的基础上，运用抽象和概括的思维方法，舍去个别的非本质的属性（如直道的长度），而抽出共同的本质属性：相邻两跑道的长度差=（外跑道圆直径-相邻里跑道圆直径）π=2π×跑道宽。模型的构建到此也基本完成。

4.重视思想，引导反思，提升建模的能力

不管是数学概念的建立、数学规律的发现还是数学问题的解决，核心问题都在于数学思维方法的建立，它是数学模型存在的灵魂。《确定起跑线》教学中，在建构"起跑线的确定"这一模型的过程中要突出与之相伴的"数学思想方法"的建模过程。一是转化，这与以前的学习经验相一致，将未知转化成已知，如我们从1.25米的跑道宽度过度到1.5米、1米；二是极限思想，如从具体数量的跑道宽度过渡到跑道宽度为a米，通过小组合作验证：（d+2a）π-dπ=dπ+2aπ-dπ=2aπ，从而完成建模能力的进一步提升。这是在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法，重视数学思想方法的提炼与体验，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度。

5.联系实际，变换情境，拓展模型的外延

人的认识过程是由感性到理性再到感性循环往复、螺旋上升的过程。从具体的问题经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型，并不是学生认识的终结，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如前面建立起来的"确定起跑线"模型，是通过外跑道圆直径和相邻里跑道直径之差建立起来的，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物列举穷尽，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境数据变化时所得模型是否稳定。所以在最后可以出示如下问题让学生分析：“在运动场上还有200米的比赛，跑道宽为1.25米，起跑线又该依次提前多少米？”由于200米的跑道只有一个弯道，学生需要对先前的模型进行修改，使模型不断得以丰富和拓展。

跑道的起跑线如何确定？学生始终围绕“确定起跑线”这一问题，步步为营，层层深入地研究，使得数学建模渐渐“显山露水”，让学生在繁杂的计算中发现更为简单的方法。在我们引导学生思维层层深入的过程中，学生不仅加强了对所学知识的理解，同时获得了运用数学解决问题的思考方法，学会了与他人合作，学生的数学素养得到提高。通过以上分析我们可以发现，在小学数学"实践与综合应用"中实施数学建模教学是完全可行的，通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力。

参考文献

[1]　“实践与综合应用”备课解读与难点透视，斯苗儿。

[2]　《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，北京师范大学出版。

[3]　《小学数学教学建模》，邹煊享，广西教育出版社。