平面几何证明教学中的困难浅析

平面几何对训练学生的逻辑思维能力有其他学科难以取代的功能。这是不容置疑的，逻辑思维在生活和生产实际中有广泛的应用，因此，平面几何教学在初中数学教学中有重要的地位。

初中平面几何是将逻辑性与直观性相结合，通过各种图形的概念、性质、作图及运算等方面的教学，发展学生的逻辑思维能力、空间观念和运算能力，使他们初步获得研究几何图形的基本方法，而这些知识的教学，主要是通过逻辑推理(即几何证明)来实施的，进行几何证明需要一定的观察能力和分析能力，特别是逻辑思维能力更为重要，但是，这种形式化的推理方法需要规范而严密的语言来表达，学生难以掌握和适应，给初中生理解、掌握和应用几何知识解决实际问题带来了困难。

大多数学生认为，平面几何证明需要严格的逻辑要求，太抽象、太难学、太枯燥，特别是从八年级上期学习全等三角形这章开始，学生数学成绩普遍出现滑坡现象。两极分化日益明显，部分学生开始害怕几何、厌恶几何、远离几何，对几何学习失去兴趣和信心，因此，平面几何的教学成为数学教师提高学生数学成绩的瓶颈，几何证明的教学更成为数学教学的难关。

几何证明教学中存在的困难。从我们在教学中的体会看，主要体现在以下几个方面。

一、学科特点及教材内容给教学造成了困难

平面几何学科的特点对几何证明有严格的逻辑要求，过分专业而严密的语言表述和较强的作图、识图能力，这些都是学生较难逾越的障碍。

现行中学数学教材中几何素材的呈现形式严谨、抽象、枯燥，过分强调演绎推理，几何教材的过分“数学化”，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，使学生的空间观念、空间想像力的培养和形成受到相当大的限制，课标虽在各方面有所改进，但仍受学科特点的限制，事实上，要把所有的几何证明问题与现实生活情境相联系是相当困难的，有时即使联系起来，也显得有些牵强，如八年级上册教材P74例2：“正在修建的某高速公路要通过一座大山，现要从山中挖一条隧道，为了预算这条隧道的造价必须知道隧道的长度，即这座大山A、B两处的距离，你能想出一个办法测出AB的长吗?”事实上，课本上提供的方法也只能理论上做到，实际操作这种测量方法是非常困难的，而数学情境问题光靠虚拟是不可取的，它一旦露出破绽，非但不能让学生建立数学密切联系生活的观念，而且有可能引起学生对其他教学内容真实性的怀疑，这就得不偿失了。

二、教材内容的编排给教师的教学带来一定的困难

课标“螺旋式上升”的理念使教材内容的编排不再连贯，知识跳跃性大，有些教学内容顺序安排欠合理，教师教学时难以把握教材，有时无所适从。

如：(1)七年级几何填推理理由时，出现“垂直的定义”、“角平分线的定义”等，八年级全等三角形这章出现全等三角形判定定理等名称，学生问什么是定义、定理，为什么说成“××的定义”、“××定理”，老师怎样回答呢?

(2)七年级的几何推理要求是说明理由，从八年级上册P73例1、例2开始出现证明，然后在P74“注意”中出现证明的步骤是：“根据题意画出图形，写出已知条件和求证，然后证明”。课本仅在括号内说明“定义、公理及定理的概念将在九年级上册介绍”，证明要干什么?有什么要求?规范到什么程度?教师如何处理这些教学内容?随便讲一讲，可能使学生越来越糊涂，推理过程一塌糊涂，不符合几何严谨的推理要求；详细教一遍，是不是把九年级第二章的内容提前了?推托就更不现实了吧!

(3)八年级上册应用勾股定理解决实际问题的计算中，不可避免地会出现二次根式的运算、化简，如P103第5题(2)：等边三角形的内角平分线的长为6，求这个三角形的边长，第6题：在RtABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，求AC及RtABC的面积，二次根式的内容安排在八年级下期，那么，这里提前出现二次根式，教学时结果要不要求学生化简?有的老师可能会作一定的补充，有些老师可能暂时不要求，这样会引起结果的不统一、不严密，甚至使学生养成以后也不化简的习惯。

课本上超前出现的习题，增加了教师教学的难度，加重了教学的困难。

如：八年级上册P83第6题、P84B组第2题，题目分别是：“全等三角形对应边上的中线相等吗?”“等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端距离相等吗?”，还有P93的练习等。而命题与证明出现在九年级上册第二章，学生在还未弄清命题的定义及命题的条件和结论的概念的情况下，这些题是不是出现得过早，拔高了难度呢?老师如按命题与证明的规范要求教学，无疑要为几个练习题增加很多教学内容，给教学带来麻烦，增加学生学习的难度；如果不作规范要求，恐怕没几个学生的推理书写符合要求。

教师已有的严谨几何证明习惯无法很快适应课标“螺旋上升”的理念，新教材增加的探究性活动等，使课程广度增加，推理的严谨性要求降低，而由于已有的几何经验及教学惯性使教师仍维持以往的教学深度，无意中增加了教学的难度。

教师教学时，不知如何把握部分内容的深度和广度，如八年级上册P70强调“表示全等三角形要把对应顶点写在对应位置上”，只简单的一句话，但这一点非常重要，是学生解决线段和角相等的证明问题时，找对应边和对应角的关键，也是本节课的教学难点，而要学生准确地做到，必须通过一定的辅助练习探究找对应边、对应角的方法和规律。为这一句话至少要多用一课时的教学时间!

三、学生学习几何证明的困难在于难过“三关”

1　逻辑关：几何证明中严格的逻辑要求、规范的形式化推理过程学生认为太抽象、太难学，主要表现在：

(1)部分学生害怕几何证明，对证明不知从何下手，不知道要做什么事；做好第一步，下一步不知做什么；哪一步先做。哪一步后做，做到哪一步就算证明了，这些学生都比较模糊。

(2)学生在进行几何证明时，无法严密规范地写出推理过程或推理过程本身不严密，遗漏步骤。

2　语言关：过分专业而严密的语言表述要求，使不少学生无法逾越语言表述关。

(1)通常的语言叙述与几何语言的叙述类似于语文中的白话文与文言文，有时用常规语言人人都会表述的事情，却被几何语言弄得很别扭，例如：怎样比较两条线段的大小?基本做法其实人人都会，吃饭时都会比较两根筷子的长短，就是把它们的一端对齐，看另一端，但几何语言叙述为“把线段A′B′平移到AB上，使A′与A重合，A′B′顺着AB落下，若B′落在AB之间，则说线段A′B′小于AB……”。

(2)几何证明的语言严格、规范、精练，近乎格式化，学生难以适应，常把推理证明写成像“夹生饭”的说明文。

3　图形关：几何作图需要较强的理解能力、动手操作能力。要能分清题设和结论。而这些往往是学生所欠缺的，遇到作图问题不能理解题意，不知要画什么，画成什么图形，画到什么程度为止，而不能准确地画出图形，有些几何证明就无从谈起，实际问题也就不能转化为几何模型，如八年级上册P102第3题轮船航行问题，第4题老鹰捕蛇问题，只要能作出图形就很简单，而作不出图形就无从下手。

另外，学生写几何证明过程时还有不习惯用几何符号的现象，对一些重要的几何证明方法不能理解，如八年级上册P86证明定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，用到了同一法。七年级证明两直线相交只有一个交点，用到了反证法等，特别是遇到需要添加辅助线的题更是束手无策，不知辅助线该如何作。为什么要这样作，有时同时作出两个或两个以上的事项，如等腰AABC中线作为辅助线时，作AD垂直平分BC，学生的作法语言就不规范。

总之，平面几何证明的教学是整个初中平面几何教学的关键环节，直接决定几何教学的成败，如何提高几何证明教学的效果需要教材编者、全体数学教师的共同努力，需要不断地完善教材，探索好的教学方法，广大数学教育工作者任重而道远。(注：本文所选案例均出自湘教版数学教材)