配方法在几何不等式证明中的应用

[摘要]首先介绍了用配方法（亦称凑方法）解题的两种常用基本形式；然后，在此基础上探讨了配方法在几何不等式证明中的应用；最后，分析和总结了配方法在几何不等式证明中值得注意的问题。

[关键词]配方法 几何不等式 证明

1 引言

一元二次方程及其求解是初高中阶段的一项重要内容，而这一部分内容涉及到一种重要的思想方法——配方法。为此，本文首先介绍了初高中数学解题中常用的这种方法[3]；然后，主要探讨了它在证明几何不等式中的解题思路和解题技巧[4]；最后，分析和总结了用配方法解题值得注意的问题。

2 配方法的两种基本形式

配方法是处理代数式的一种方法，它是对数学式子进行一种定向变换（配成完全平方）的技巧，通过对代数式配方找到已知与未知的联系，从而化繁为简，具体说它是通过对代数式添加并减去相同的项，进而把代数式的一部分配成完全平方式，其基本依据是：二项式完全平方公式（a±b）2=a2+b2±2ab。

这种方法要求对知识的掌握比较熟，具有较强的技巧性，下面借助该方法分别用两种形式来对一元二次方程加以应用。

3 配方法在证明不等式中的应用

配方法不仅在解方程中有应用，而且在证明不等式中也有重要体现。

原理：在实数范围内，完全平方式总是非负的。因此若在一个代数式中增添了一个完全平方式，则所得的代数式就不会小于原代数式；若舍去一个完全平方式，则所得的代数式就不会大于原代数式。转化为数学语言就是：设A是一个代数式，a是任意的实数，则A+a2≥A2A-a2≤A。下面以具体例子对这一原理加以说明。

4 用配方法解题值得注意的问题

配方法虽然在中学数学中对教师的教学以及学生的学习有一定的指导意义，但对有些题目而言用配方法却显得累赘。比如上面已经证明过的柯西不等式，下面用另一种方法证明：

从上面的例子便不难看出，在解决有关问题时要选用适当的方法，不仅会提高解题质量，而且使得解题的过程更为简洁。

5 结论

配方法有着十分广泛的适应性，它是数学解题中的一种重要的思想方法，在代数、几何、三角以及解析几何等中经常用到，如因式分解、根式化简、解方程、证明不等式以及求极值等等。对于某些看似无法入手的问题，考虑用配方法有时会出现“柳暗花明又一村”的效果，当然它需要有敏锐的观察力和较高的技巧性。技巧不像解题方法那样有着比较固定的步骤和格式，它无规律可循。因此，真正的掌握知识要靠不断的积累经验，同时也要注意到用配方法可以解决的问题，用其它方法也可以解决，要选用最优方法，提高解题质量。

参考文献：

[1]李炯生，黄国勋.初等数学论丛（第二辑）[M].上海：上海教育出版社，1981.

[2]张志朝.中学数学讲解与测试[M].天津：天津人民教育出版社，2004.

[3]汪江松.高中数学解题方法与技巧[M].武汉：湖北教育出版社，2006.

[4]张弛.几何不等式[M].上海：上海教育出版社，1979.