分式的基本性质及应用

[一、基本性质的剖析]

分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即 = ， = （M是不等于0的整式）.从形式上看，分式的基本性质与小学学过的分数基本性质几乎是一样的，学习起来不会有多大困难，但要真正理解和掌握，必须注意从三个方面去把握.

1． 基本性质中的A、B、M表示整式，实际上随着知识的不断扩充，A、B、M还可以代表任何代数式（B、M不等于0）.

2． 基本性质中的B ≠ 0是已知条件中的隐含条件，在解题过程中一般不需要强调，M ≠ 0这个条件千万不能忽略.在算术中讲到分数基本性质时，虽然也要求M ≠ 0，但在运用中我们是不会用0去乘（或除）分数的分子与分母的，所以这个条件常常不被引起重视，而在分式中，M是一个含有字母的代数式，由于字母的取值可以是任意的，故M就有取0的可能性.因此，我们在应用基本性质时，应分析M的值是否为0，养成随时注意应在什么条件下应用这个性质的习惯.

3． 基本性质由六部分构成：（1）分式的分子和分母；（2）都乘（或除以）；（3）同一个；（4）不等于0；（5）整式；（6）分式的值不变.其中前五个是条件，第六个是结论.要注意条件中的“都”、“同一个”、“不等于0”和“整式”这几个关键词语，它们保证了“分式的值不变”这一结论.

[二、基本性质的应用]

1． 对一个由分式构成的等式从左到右进行变形.

例1填空：

（1） = .（2） = .

分析：（1）右边的分母a2b是左边的分母ab乘a得到的，根据分式的基本性质，右边的分子应是左边的分子乘a，即a（a - b） = a2 - ab.（2）右边的分子x + y是左边的分子x2 + xy除以x得到的，故右边的分母应是左边的分母除以x，即x2 ÷ x = x.

解：（1） = .（2） = .

点评：解这类题时，要认真比较等式两边分式的分子和分子、分母和分母的关系，看它们同乘（或除以）了什么样的整式.切记变形前后分式的值保持不变.

2． 把分式中各项的分数、小数系数化为整数系数.

例2将下列分式中各项的系数都化为整数.

（1） .（2） .

分析：（1）中各项的系数都是小数，观察特点可知，只要将分子和分母同乘10就行了.（2）中各项的系数都是分数，它们分母的最小公倍数是12，所以只要将分式的分子和分母同乘12就解决问题了.

解：（1）== .

（2）== .

点评：解这类题时，要根据分式的基本性质进行变形.通常情况下，若各项系数都是分数，可以把分式的分子和分母同乘各项系数的所有分母的最小公倍数；若各项系数都是小数，可以根据具体情况，把分子和分母同乘10n；若各项系数不统一，有分数系数又有小数系数，要先化统一，再解题.

3． 改变分式的分子、分母的符号.

例3下列各等式正确的是（）.

A．= B．=

C．= 1 D． -=

分析：A中同时改变分式的分子、分母的符号，相当于把分式的分子、分母同乘－1，分式的值不变，故A正确；B中改变符号后分母应为 － x + y，不能只改变其中一项的符号，故B是错的；C中分子应为－ （- x + y），显然等式不成立；D中（y - x）2 = （x - y）2，分子、分母同除以x － y后不应改变分式本身的符号，故D也是错的.

解：应选A．

点评：利用分式的基本性质可以对一个分式的分子、分母的符号进行变化，即同时改变分式的分子和分母的符号，分式的值不变.

4． 对分式进行约分.

例4约分：.

分析：首先将分子、分母中的每一个因式的最高次项系数化为正数，然后再对每一个能分解因式的多项式进行分解，利用分式的基本性质约去分子、分母中的相同因式.

解： =

=

=

= .

点评：将分式约分时，若分子、分母都是单项式，则公因式取相同字母的最低次幂与系数的最大公约数的积；若分子、分母是多项式或含多项式的因式积，则应先将多项式分解因式，再约去相同因式.

5． 对分式进行通分.

例5通分：，，.

分析：先将每个分式的分母分解因式，然后确定最简公分母.因为2a + 2 = 2（a + 1），a2 - a - 2 = （a + 1）（a - 2），4 - 2a =- 2（a - 2），所以最简公分母为2（a + 1）（a - 2）.

解：最简公分母为2（a + 1）（a - 2），

== ，

==，

= .Y