时间：2022-09-23 04:31:54
有些题目看似简单，但仔细想想，却会有新的发现.
图1中有PAB和QAB，问：PAB与QAB的面积之比是多少？
这个问题不难解答.因为三角形面积等于底和高之积的一半，显然PAB和QAB共底，要求面积之比，只需求两三角形的高之比.作出两三角形的高PD、QE（如图2），可得 = .那么，我们要做的工作就是作两个高，测量两次，作一次计算，这个问题就解决了.
有没有更简单一点的办法呢？因为作高比较麻烦.如果只是尺子一摆，顺手作出，那么就可能出现较大的误差.可不可以避免作高呢？办法也是有的.可以延长PQ、AB（如图3），使之相交于点M，则有 = .这是为什么呢？
学过相似三角形的读者很快就会发现PDM ∽QEM，因而有 = .那么，没有学过相似三角形的读者能否明白其中的道理呢？办法仍然是有的.在直线AB上取点N（如图4），使得MN = AB，于是 == .这里用到了“同高三角形的面积之比等于底之比”.因为我们把PM看成PNM的底，把QM看成QNM的底，那么PNM和QNM就成了同高三角形.
回顾我们思考的过程，从中可以获得一些有益的启示：
第一，不要放过那些表面上看似寻常的问题，它们的背后也许还有很多你没弄明白的东西.
第二，找到一种解决方法的时候，不妨再想想，有没有更简单、更高明的方法.
第三，更简单、更高明的方法也许要用到更多的数学知识.不妨进一步想想，能否用更少的、更基本的知识来说明它.
问题并没有结束，我们还可以举一反三.图1中画出的两个三角形有一条公共边AB.但是，有公共边的两个三角形情形是多种多样的，它们的位置并不一定像图1那样.下面我们给出一个定理.
共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图5，有4种情形），则有 = .
可能有读者会认为，既然有4种情形，就应该分情况进行讨论了，那多麻烦啊！其实不必紧张，证明过程和我们前面的推理完全一样，照搬就可以了.
证明：在直线AB上取一点N，使得MN = AB，则PMN与QMN共高（分别以PM、QM为底），则有 == .
从本质上讲，共边定理是“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论.它的用途相当广泛，下面举几个例子.
例1如图6，在ABC中，D、E分别为AC、AB边中点，CE与BD交于点F.求证：CF = 2FE.
证明： === 2. 故CF = 2FE.
本题相当于图5（1）中的情形.点F实质上是ABC的重心.
例2如图7，在ABC内任取点G，连接AG、BG、CG，分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证：
++= 1.
证明： ++=++== 1.（可参照图5（2））
例3如图8，在ABC中，点D、E分别在边BC和AC上，且BD = BC，CE = CA，AD、BE交于点R，求和.
解：由共边定理， === ，故 = ；=== 1，故 = .
例4（第15届“五羊杯”九年级数学竞赛试题）如图9，ABC中，BP ∶ PQ ∶ QC = 1 ∶ 2 ∶ 1，CG ∶ AG = 1 ∶ 2，求BE ∶ EF ∶ FG.
解：设SABC = 1，则SABP = ，SAGP = SAPC = ・ = ，SABQ = ，SAGQ = SAQC = ・ = ， == ， == ，故BE = BG，FG = BG，EF = 1 -- BG = BG.BE ∶ EF ∶ FG= 11 ∶ 16 ∶ 6.
例5如图10 ，过ABC的顶点B的两条直线BG、BH与BC边上的中线AD交于点E、F，且AE ∶ EF ∶ FD = 4 ∶ 3 ∶ 1，求SBAG ∶ SBGH ∶ SBHC.
解： == ・ = ； == ・ = .从而SBAG = SABC，SBHC = SABC，SBGH = 1 -- SABC = SABC.
故SBAG ∶ SBGH ∶ SBHC = 3 ∶ 4 ∶ 2.
一个定理的用途越多，越说明这个定理重要.从上面几个例题来看，共边定理的作用确实不小.掌握好这一有用的工具后，甚至一些给九年级学生做的奥赛题，七年级、八年级的学生就能很好地解决.以后我们会对共边定理作进一步的探讨.Y