以“本”为本 夯实基础

常言道,“树有根,水有源”,纵观近几年的数学高考题,很多题目都是源于课本且略高于课本,即在课本中都能找到一些高考题的影子.因此,掌握好课本上的例题、习题,是大家在高考数学中能得到好成绩的明智之举．

【例1】 (2010江苏)设实数x、y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9,则x3y4的最大值为．

(此题的问题情境比较生,条件与结论也相差太远,但如果能把它进行一些适当的转化,问题仍能化为教材中大家熟悉的情形)

解析一 (此解法是教材必修5P80例1、P81例2、P86习题2、3的综合)：

把条件和结论都取以10为底的对数,即为：设实数x、y满足lg3≤lgx+2lgy≤3lg2，

2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3.求3lgx-4lgy的最大值．

令lgx=t,lgy=s.z=3lgx-4lgy.则得线性约束条件：lg3≤t+2s≤3lg2,

2lg2≤2t-s≤2lg3.线性目标函数为z=3t-4s.这就是我们大家非常熟悉的问题了.画出本问题的可行域及z=0时的直线l0:3t-4s=0,从图可知,当直线l0平移到过点A时,z有最大值

由t+2s=lg3,

2t-s=2lg3.得A(lg3,0)．

zmax=3lg3=lg27.

x3y4的最大值为27．

解析二 由条件知x3y4=x2y2÷xy2.因此令x2y2=y′,xy2=x′．

则问题转化为：已知实数x′、y′满足3≤x′≤8，

16≤y′≤81.求y′x′的最大值

这也是一种常见题型.画出可行域如图所示.由y′x′的几何意义知,

它表示可行域中的点与坐标原点连线的斜率,当点为A(3,81)时, y′x′有最大值27.

x3y4的最大值为27

【例2】 (教材必修5P92例3)过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当AOB的面积最小时,求直线l的方程．

若设A(a,0),B(0,b),(a＞0,b＞0),则此题的核心内容为:

已知1a+2b=1,求S=12ab的最小值及此时a,b的值.

此类问题的解法很多,现以课本中的例题为例,总结如下：

解法一 (基本不等式法)

1a+2b≥22ab,

ab≥8,

S=12ab的最小值为4,当且仅当

1a=2b=12.即a=2

b=4时取“=”．

解法二 (代“1”法)

S=12ab=12ab•1=12ab•1a+2b

=12(2a+b)≥2ab.

12ab≥2,ab≥8,S=12ab≥4.当且仅当2a=b即a=2,b=4时,S有最小值4．

解法三 (代入消元法)

由1a+2b=1b=2aa-1>0，

a＞1，

S=12ab=12a•2aa-1=a2-1+1a-1

=a+1+1a-1=a-1+1a-1+2

≥21+2=4.

当且仅当a-1=1a-1,即a=2时取“=”,此时b=4.

此解法要注意求出留下变元的取值范围以及必须具备灵活的代数式变形能力．

解法四 (换元法)

1a+2b=1，

想到三角公式cos2θ+sin2θ=1，

作三角换元：即1a=cos2θ，

2b=sin2θ.

即a=1cos2θ,

b=2sin2θ.0

s=12ab=1sin2θ•cos2θ=4sin22θ≥4.

当且仅当θ=4π即a=2

b=4时取“=”．

此题还可以改编为下面的练习题：

1. 已知正实数a,b满足ab=1,求1a+2b的最小值．

2. 已知正实数a,b满足a+b=1,求1a+2b的最小值.

3. 已知正实数a,b满足1a+2b=1,求a+b的最小值.

4. 已知正实数a,b满足1a+2b=1,当ab≥m对一切正实数a,b恒成立时求实数m的最大值.

5. 已知正实数a,b满足1a+2b=1,当a+b≥m对一切正实数a,b恒成立时求实数m的最大值.

6. 已知正实数a,b满足a+b=1,当

1a+2b≥m对一切正实数a,b恒成立时求实数m的最大值.

7. 已知不等式(a+b)1a+mb≥9对任意的正实数a,b恒成立,求正实数m的最小值.

8. 已知不等式(a+mb)1a+2b≥9对任意的正实数a,b恒成立,求正实数m的最小值.

这些题目仿上面的解法都能完成(参考答案：1. 22 ,当a=22,b=2时 2. 3+22,当a=2-1,b=2-2时 3. 3+22,当a=1+2,b=2+2时 4. 22 5. 3+22 6. 3+22 7. 4 8. 2)

发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。―达尔文

牛刀小试

1. (2010山东文)已知x,y∈R,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为．

2. (2011重庆理)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是．

3. (2009天津理改编)设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为 ．

4. (2006陕西理改编)已知不等式(x+y)•1x+ay≥9.对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .

5. (2007山东理)函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn＞0,则1m+2n的最小值为．

【参考答案】

1. 3 2. 92 3. 1

4. 4 5. 8