“厚研教材”之我见

2010年，我们确定《小学数学“厚重课堂”的探索与实践》作为研究课题，该课题着重围绕小学数学“厚重课堂”所应具备的课堂教学质量标准（追求“五感”——情感、实感、动感、灵感、效感；突出“五味儿”——数学味儿、生活味儿、文化味儿、趣味儿、人情味儿）展开。达到该研究目标应具备的前提和保障，则是要求教师“厚练功底”“厚研教材”“厚读学生”“厚析课堂”“厚积反思”，从而做一名“厚重教师”，这是该课题实验要突破的难点。所以，在课题实验的过程中，我们重点围绕如何突破课题的难点开展工作，引领广大教师具有做“厚重教师”的意识和行为。

一类知识——整体把握

数学知识之间是有着紧密联系的，一类知识间的联系和发展便构成一个系统的知识体系。教材在编排过程中，往往是依据学生的年龄特点和认知规律等将一个体系进行适当分割、螺旋编排的，为师生的教与学提供了科学的依据和导引。于是，教师们便对这些“依据”和“导引”充满了“依赖”和“盲从”。我认为，教师们还是要减少这样的“依赖”和“盲从”，要学会“瞻前顾后”地研读教材并融入自己的思考，对一类知识从整体上进行合理调整和把握。

比如，“比例尺”这一内容，我认为就可以将它从人教版数学六年级下册“比例”单元跨册调整到六年级上册“比”的单元中进行教学，具体对教材和学生进行的研读和思考如下：

【研读教材】

“比例尺”是什么？

在以往的教学中，我从来没有细细地琢磨过这个问题。只认为，之所以把图上距离和实际距离的比叫作“比例尺”，这是数学的规定；然后只强调告诉学生：它是一个比，而不是一个比例，更不是平时我们使用的“尺子”，仅此而已。今天，再来细细品读这个数学概念，仅从字面剖析，我不禁融入了更多个人的思考：

比例尺是一个“比”——表示图距和实距的比；

比例尺是一个“例”——表示二者之比的一个“图例”；

比例尺是一把“尺”——是一幅图应该遵守的统一的“标尺”。

这样来理解“比例尺”，我觉得对它的认识就增加了更多的层面，对教学就有了更大的启发。

“比例尺”的教学位置放在哪里更合适？

比例尺是一个“比”，而非“比例”。但一直以来，教材都把它放在“比例”单元中来编排。我从人教版六年级下册教师用书第71页中找到了这样编排的原由：“比例尺表示图上距离与实际距离的比，因此它可以作为比的应用。但实际上，图上距离和实际距离是成比例的，根据比例尺求图上距离或实际距离都可以列比例式来解，所以它也可以看做是比例的应用。”我认为，仅从可以“用列比例式的方法来求图距和实距”这个层面上来确定比例尺的教学位置，是不够恰当的。要解决“已知比例尺和图距（实距）求实距（图距）”的问题，方法有很多，用列比例式的方法来解只是其中一种，且并非最优方法。而要让学生认识和理解“比例尺”，就应该从它的意义入手，更加突出其“比”的意义和应用价值。因此，我认为，比例尺（包括“图形的缩放”）作为“比的应用”教学的“典型”，应该提前在“比”的单元进行教学。这样调整有以下目的和作用：

1.在学生认识“比例”之前先认识“比例尺”，首先从字面上避免了“比例”的干扰，对理解其意义有一定的作用。

2.更加突出了“比”的意义；在求一幅图的比例尺的过程中，让学生进一步熟练掌握根据比的意义化简比；在用数学方法解决“已知比例尺和图距（实距）求实距（图距）”的过程中更加凸显了“比”的应用价值。

3.在学生后续学习“比例”的相关知识后，再把它和形如“张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。李奶奶家用了10吨水，她家的水费是多少钱？”“捆扎一批书，如果每包20本，要捆18包。如果每包30本，要捆多少包？”等这些所谓的老问题一起拿来比较，利用“比例的方法”赋予它们新的解法。这样也许更合理。

学生已有的相关知识基础是什么？

如果把比例尺的教学提前的话，那么学生在学习它之前就已经具备的相关知识有：

1.有关“比”的知识——比的意义和性质、化简比、比的应用等，这些都是学习比例尺的必备基础。

2.有关“比例尺”的知识——学生早在学习统计图时就知道了可以“用一个确定的单位长度表示一定的实际数量”，虽然这里的实际数量并非都是指长度，但学生从中初步知道了实际数量是可以通过一定的标准在图上表示出来的，这种最早烙在学生心中的数学“印痕”对学习比例尺的作用是“隐形”的；在中年级“位置与方向”的学习中，线段比例尺就已经“闪亮登场”了，只不过大家不知道它叫这幅图的“比例尺”而已。

3.有关计算的基础——学生在“位置与方向”的学习中，已经会根据图中线段比例尺的意义，利用算术方法解决“已知图距（实距）求相应的实距（图距）”的问题。

学生学习这部分知识的真实思维可能是什么？

正是了解了学生之前所具备的上述基础，所以我认为比例尺的学习对学生来说并不困难，在两种比例尺的学习中，学生可能会更容易接受“线段比例尺”。在求图距或实距的学习中，学生可能更愿意借助“算术”方法进行计算；在综合运用比例尺的有关知识解决实际问题时，学生可能更钟情于使用“线段比例尺”，等等。

教学应该为学生今后的学习打下什么样的基础？

学生后续学习中的“绘制简单的平面图”以及“图形的缩放”等都要用到比例尺，比例尺在生产生活中的广泛应用更是非同一般，所以，必须让学生具备扎实的相关基础知识和技能。教师应该充分尊重学生的学情，引导学生在已有的基础上，用自己喜欢的方式，学到适合自己的、有用的、有价值的数学。

【创新实施】

正是有了上述思考，我将“比例尺”的教学提前到有关“比”的单元进行。教学时，我选择了“位置与方向”的问题作为教学的起点，引导学生在旧知的复习中自然引出新知且步步深入学习新知，充分尊重并有效利用了学生已有的知识基础。

以往的教材编排和课堂教学中，都以数值比例尺为主，线段比例尺只是点到为止。可结合实际情况，我们又明显感受到线段比例尺在学习和使用中的优越性，这是教学中不可回避的事实。因此，新教材的编排较老教材有明显改善——两种比例尺并重出现，允许学生选择自己喜欢的比例尺解决问题等。教学中，我先从线段比例尺自然地引出数值比例尺，然后引导学生发现二者的特点和作用，感受到它们的优势互补；接着在相互转化的过程中感受到它们之间的内在联系，较好地渗透数学思想方法。这样并重教学两种比例尺，也为下一步利用比例尺解决实际问题作好了充分的铺垫。

一节课——质疑完善

“一节课”是课堂教学的一个细胞。教学任务就是靠这样的一课又一课来完成的。因此，“一节课”的教学最能体现教师对教材的理解和把握能力，也能反映出教师的教学思考和智慧。

【研读教材】

课例：人教版数学五年级上册《平行四边形的面积计算》。

（1）引入。从主题图中学校大门前的两个花坛（一个长方形，一个平行四边形）引入一个实际问题：两个花坛哪一个大？也就是要计算它们的面积各有多大。长方形的面积学生已经会计算，从而提出如何计算平行四边形面积的问题。

（2）用数方格的方法计算面积。这是一种直观的计量面积的方法，在学习长方形和正方形面积计算时学生已经使用过，但是像平行四边形这样两边不成直角的图形该如何数，对学生来说是一个新问题。教材给出提示，不满一格的都按半格计算。教材安排同时数一个长方形和一个平行四边形的面积，再对它们的底（长）、高（宽）和面积进行比较，暗示这两个图形之间的联系，为学生进一步探寻平行四边形面积的计算方法做准备。

（3）探究平行四边形面积的计算公式。提出：“不数方格能不能计算平行四边形的面积呢？”通过学生动手操作，用割补的方法把一个平行四边形转化为一个长方形，找出两个图形之间的联系，推导出平行四边形面积的计算公式。最后把面积计算公式用字母表示。

在研读教材的过程中，我产生了以下质疑：

数面积，为什么“不满一格的都按半格计算”？

正如上述教材的编排意图中所言：“用数方格的方法计算面积。这是一种直观的计量面积的方法，在学习长方形和正方形面积计算时学生已经使用过，但是像平行四边形这样两边不成直角的图形该如何数，对学生来说是一个新问题。”所以，我一直在为学生而困惑：不满一格的情况大小不一，为什么都要按半格计算？这样数出来的面积是不是平行四边形的面积？有没有数出来的长方形的面积准确？

“可以把平行四边形变成一个长方形”究竟是谁的想法？

我曾经在没有教材干扰和他人干扰的情况下就“平行四边形的面积计算”对学生进行过调查，大部分学生的真实想法是“在平行四边形上摆面积单位”或“用一组邻边相乘”，几乎没有学生一开始能想到“可以把平行四边形变成一个长方形”。之所以我们的课堂上能有学生想到使用“割补法”进行转化，大都是因为受教材的提示或“教师课前要求带平行四边形纸板和剪刀”的暗示。“可以把平行四边形变成一个长方形”更多地表达了编者和教师的想法，而不是学生原生态的认识。

【创新实施】

基于上述思考，我们在教学中作了如下探索和尝试：

一、在学生已有的知识基础上建构新知

旧知是建构新知的基础。教学时，从学生已有的知识基础出发，步步深入，层层推进地逼近新知并建构新知。从“你都了解到平行四边形的哪些知识”的谈话开始，先唤起学生对平行四边形已有的认知。然后根据平行四边形易变形的特点，将其推拉成一个长方形，在“周长不变，面积变不变”的肯定与不确定的认知冲突中自然地“逼近”新知。接着，让学生在方格图中直观感知，达成共识：“拉成的长方形比平行四边形的面积大，与平行四边形的面积不相等。”然后巧抓时机，适时追问：“哪个长方形的面积与平行四边形的面积相等？”“它与平行四边形还有什么关系？”“根据这些很重要的‘关系’，你们还会有什么重要的发现？”引导学生一步步地推理出平行四边形面积的计算方法。最后，通过解决“推拉成的长方形比平行四边形面积大多少”的练习活动，让学生进一步理解和掌握平行四边形面积的计算方法，澄清学生潜意识中“平行四边形的面积=底边×邻边”的错误“初念”。长方形与平行四边形面积的对比贯穿教学的始终，整个过程达到了新旧知识的有效沟通，实现了“在学生原有基础上的有效学习”。

二、在方格图中建构新知

1.巧铺垫——不告诉学生“不满一格的按半格算”

在让学生数面积时，我没有将教材中“不满一格的按半格算”这一“提示”告诉学生，而是放手让学生数。在“能数出来”与“没法儿数”的矛盾冲突中让学生相互启发，从而自悟出“通过左右移拼的方法”来解决问题，为下面进一步使用“剪拼割补法”探究新知作了巧妙的孕伏。

2.探新知——更直观地对比长方形与平行四边形的面积

课堂上，如果让学生现场在白纸上画一个平行四边形，不仅增大了难度而且会耽误时间，方格图的出现就很有效地避免了这些问题。学生在方格图中不仅能快速准确地完成操作，而且能清晰地看出所画平行四边形的底和高，为后面的学习提供方便。

在后面对比推拉前后平行四边形与长方形的面积“谁大”“大多少”的学习中，方格图又为学生的观察发现提供了更直观、更明了的“幕后”支撑。尤其是方格图中的虚格线不仅能让学生更容易理解左右“割补”的过程，而且能让他们清楚地感觉到“邻边”与“高”的上下“较量”……

一道题——创新改编

学生要对所学知识进行有效巩固和应用，离不开一个又一个数学问题的解决。而一个有价值的问题，不仅能达到学以致用的效果，更能开阔学生的思维，培养学生的能力。教材中大量的试题都是有价值的教学资源，如果教师们认真研读并创新改编，就能将有限的资源最大化地发挥作用。

【试题来源】

人教版数学五年级上册第83页第7题。

【创新改编】

用木条做成一个长方形框架（如图），长18厘米，宽15厘米。如果把它拉成一个平行四边形，周长不变，面积和原来相差54平方厘米。拉成的平行四边形的高是多少厘米？

【作用效果】

改编后的题目综合考查了学生以下知识和能力：

1.了解长方形框架拉成平行四边形后，周长和面积的变化情况。

2.会计算长方形和平行四边形的面积，尤其是通过解决“已知平行四边形的面积和底而求高”的问题，灵活考查学生对所学新知“平行四边形面积的计算”的掌握情况。

3.在计算平行四边形的高时，因为图中没有特别标注，所以可能会出现两种情况（面积÷18或面积÷15），即18厘米做底边所对应的高或15厘米做底边所对应的高，二者均可为所求问题，进一步开放了学生的思维。

总之，一类知识、一个单元、一节课、一道题，就是我们面对的教材。教材很平凡，但作用无价；教材很“薄”，但需要我们“厚”读；教材内容有限，但要求我们的思考和研究无限……