浅析数学反例及其构造

摘　要：　本文对数学反例的概念及类型作了简单介绍，并且从方法论的角度对反例的作用及构造方法进行了初步探讨，构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中，以期培养学生合理怀疑的“批判精神”，为创新教育作一些尝试。

关键词：数学反例；创见学习；反例构造

数学中有一种常用的方法，即反例法.“构造反例”与“提出证明”在数学发现过程中有着同等重要的作用。

世界上最简单而又最优秀的反例，莫过于欧拉发表的世界上最短的一篇数学论文了：225+1=232+1=4294967297=641×6700417，它一举了独步数坛百余年的费马猜想：“n为非负整数时，一切形如22n+1的数是素数。”

一般地说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时只选其中一个就可以了。为了更好地理解与掌握反例法，　本文从方法论的角度对反例的类型、作用及构造方法进行探讨，下面我们就通过一些具体例子，来研究一下反例的类型和构造方法。

1　反例的概念与类型

1.1反例的概念

数学反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。

1.2反例的类型

反例的产生与数学命题的结构密切相关，因此，数学反例主要有以下几种类型：

1.2.1　基本形式的反例

数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断（所有S都是P），全称否定判断（所有S都不是P），特称肯定判断（有S是P），特称否定判断（有S不是P），其中，全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例，全称否定判断与特称肯定判断也可以互为反例。

例1设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，讨论f（x）的奇偶性。

解析　当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x）

对任意x∈R都成立，所以此时f（x）为偶函数；

当a≠0时，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a），

由一个反例可得，此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.

1.2.2　充分条件与必要条件假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可表述为pq，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者。”可举反例“没有前者，却有后者”说明之.这种反例称为关于充分条件假言判断的反例。

例2　函数y=f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处连续

这里可导是连续的充分条件，但并非必要条件

反例y=　在x=0处不可导，但在x=0处却是连续的。

断定某情况是另一情况的必要条件的假言判断称为必要条件假言判断，可表述为pq，即“：没有前者，就没有后者”，但是“，有了前者，不一定有后者”。可以举反例“有了前者，没有后者”说明之.这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。

1.2.3　条件变化型反例

当数学命题的条件改变时，原结论不一定成立，说明这种情况所举的反例可称为条件变化型反例。考查条件变化情况下结论的变化，对数学研究与教学是有益的。两个等差数列的和仍是等差数列，那么　两个等比数列的和仍是等比数列么？

例3　设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，　cn=　an+　bn，证明数列{cn}不是等比数列.

证明　设{an}、{bn}的公比分别为p、q，　cn=　an+　bn

为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1c3

事实上，　c22=（a1p+b1q）2=　a21p2+b21q2+2a1p　b1q

c1c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=　a21p2+b21q2+　a1b1（p2+q2）

由于p≠q，　p2+q2＞2pq，又a1，　b1不为零

因此，c22≠c1c3，所以{cn}不是等比数列。

例4　闭区间上连续函数性质定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上至少取得最大值和最小值各一次。

如果条件[a，b]减弱为开区间（a，b），则定理不成立。

反例　f（x）=x3在（-1，1）上连续，但无最值。

如果条件连续改为f（x）在[a，b]上某些点间断，则结论不成立，反例　f（x）=　在[-1，1]上无最值。

2.反例的作用

2.1发现原有理论的局限性，推动数学向前发展

举反例可直接促进数学新概念，新定理，与新理论的形成和发展。在数学发展转折时期，典型的反例起着举足轻重的作用正如盖尔鲍姆与奥姆斯特德指出的“数学由两个大类――证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标―提出证明和构造反例”。

例如公元前500年左右　，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，这个发现实质是该学派认为的“一切量都能用有理数表示”的反例，它使人们对数的认识大大提高了一步。

2.2澄清数学概念与定理，增加其确切性与清晰度

在数学教学中，恰当地引用反例，往往能帮助学生加深对数学知识的理解和掌握，有助于澄清数学概念与定理，由于概念与定理间结构复杂多样，条件交错，使人难以理解，反例可以将概念与定理间关系揭示得一清二楚。

例5　如讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期。

其实，举个反例就澄清了这种看法

1　x为有理数

F（x）=

-1　x为无理数

设T为有理数，因为x为有理数时，x+T也为

有理数，x为无理数，x+T也为无理数，所以

1　x为有理数

F（x+T）=

-1　x为无理数

所以有F（x+T）=F（x），即F（x）以任何有理数T为周期。但有理数中无最小正数，所以F（x）不存在最小正周期。

数学是一门严谨的学科，其中许多概念定理结构复杂，不易理解。所以除了掌握严密的逻辑推理与思维方法之外，还应该掌握反例，反例能使我们对概念的理解更加准确，使定理的条件结论间的充分性与必要性显得更清晰，起到定向纠错的作用。数学教学离不开反例教学，也不能处处用反例教学，我们应当以正为主，反例为辅，才能使教学达到最佳效果。

参考文献：

[1]　冯素芬.数学反例类型及构造.北京工业职业技术学院学报.　2003.

[2]　郝红宾.细说反例类型　.数学思想方法报　.1998.