关于线性代数教学的几点看法

摘要：由于线性代数本身在各个领域的广泛运用，如数值分析、运筹学、矩阵论等，使线性代数在整个数学框架中占据了十分重要的部分。而鉴于线性代数的抽象性和复杂性，在教学的过程中难以给学生完整地表达出来，根据以往的教学经验，着重提出关于矩阵及相关概念的理解。

关键词：线性代数 教学 矩阵

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2012)O8-0239-01

1、线性代数课程教学存在困难的原因

1.1 按现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。从数学本身角度出发，在线性代数之前的数学课程，主要以实用为导向，同时兼具有具体的数学模型供我们理解，而线性代数是在表达方式和抽象性上的一次飞越，这个使一直习惯用具体模型举例并且来教学的教师感到表述困难，学生也多数觉得晦涩难懂。从教学的过程来看，对于线性代数的举例的确存在障碍，使我们在教学时多数以学习线性代数的相关规则为主要，这样在一定程度上，增加了学生的理解难度。

1.2 课程缺乏明确的主线。因为它可以用不同的方式去组合各个专题展开课程内容。例如，从行列式展开，从线性方程组解法展开，从线性变换的矩阵表示展开，以及从公理化的线性空间展开。当然，每一种展开方式多需要建立自身的逻辑体系，尽管这些体系互不相同，但都要实现课程的最终目标。却都没有注重如何突出体现课程教学形态的课程主线，以至于许多学生学完这门课程后还不清楚课程的核心内容和思想方法。

2、线性代数课程教学

首先，作为教师应理解学生们对于通过纯粹的数学证明，并不能使他们明白和理解。自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。在这种情况下，我们应该使学生们了解到线性代数首先是一种工具，和众多的数学课程一样，只是应用的方面暂时没有接触，而作为一项工具，我们的目标是学会如何运用这个工具，至于这个工具的工作原理和以及工具本身是如何被制造出来的，并不是重点，同样，这不代表我们不需要去思考。对于这样工具，它一定会有它的操作说明，那么线性代数它也会有它自己的规则，这些规则本身才是我们真正需要学习的。这个观点是我们需要向学生传达清楚的，或许这和中国传统的“知其然亦知其所以然”有所不同，但由于线性代数课程的特殊性就要求我们在教授时需要使学生转变以往的观念，使学生适应线性代数思维模式。我一直相信建立数学思维的逻辑是战胜一切数学问题的法宝。有多少学生能懂不重要，重要的是我们要使学生的思维模式尽可能贴近这种抽象并且缺乏直觉性的数学逻辑。学生能听懂到第几步，那么他就会使自己更加适应线性代数的学习，以上这些是我们需要学生能明确的。

2.1 在线性代数课程最重要的也是最基本的内容是矩阵，相信任何学生在学习线性代数时，都会有一个问题：矩阵除了计算以外有什么用？矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法。在高等数学中，我们的线性规划一般是平面坐标系内的，虽然条件数可能多，但理解起来不难，那么我们可以让线性规划用矩阵来做，用比较简单的2×3矩阵举例，通过矩阵的变化求出最优解，可能很多学生认为这种过程很复杂，但是由于问题的动态性，矩阵是可以提高效率的。用矩阵知识破译密码, 预测动物繁殖,人口迁移模型， 计算交通流量, 求解投入产出问题, 用向量的定义和计算及多步决策理论可以解决怎样安全过河问题等等.那么我们可以启发学生，矩阵从一定角度上，简化了我们解决问题的程序，而矩阵的好处，将来会在实际运用当真正突显。

2.2 线性代数一条主线是矩阵的理论，另一条主线是向量空间及其上的线性变换的概念和理论，这两方面之间有一个联系的桥梁，就是“基”。可以这样理解：“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：（1）.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？(2).线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举个的例子：L1是最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以X0、X1、…、Xn，为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量其实就是多项式中项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。使某个对象发生线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。矩阵的本质是运动的描述。矩阵究竟是什么东西？为什么矩阵的乘法法则是这么规定的，并且看似奇怪，却包含道理等等。因此更倾向把矩阵看做是一种变换，这样就可以比较容易的理解。变换有很多种，各种各样的变化、发展都可以看做是变换，而线性代数的运算法则中都是不同形式的变换，同样可以在教学中对学生解释：矩阵本身是我们为解决一个实际问题，来尝试不同方案的基础，我们在这个基础上拼凑出无数中可能，在这种可能下，我们利用前人的经验求出答案，来达到我们解决一个问题的目的。那么一个实际问题要抽象成一个数学问题，我们可以把最后留在纸上的，供我们无数次试验的东西叫做矩阵。而用我们数学最直观的语言数字来表达，就是矩阵最后体现出来的形式。

当然，这是一种更加直觉性的解释，它的作用更大地在于帮助学生理解，因为线性代数课时较少的特点，很多学生在学习时总是被一些非关键的问题困扰，一些感性解释可以使他们摆脱这种困扰，同时使学生们明白，线性代数不同于其他数学的特点就在于它是难以被描述的，对于这种难以被描述的数学工具，并不是没有办法学好，自己要逐步来适应一种全新的思维模式。

参考文献：

[1]刘学质.线性代数课程体系与教学原则[J].高等数学研究,2008.4