数学模型方法在解题中的应用

摘要：数学模型是针对或参考数学对象的特征或数量关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型方法是处理数学理论问题的一种重要方法，也是处理各种实际问题的一般数学方法。运用数学模型方法需要有较强的理解实际问题的能力，以及通过实践加以验证的能力。重视数学模型方法的教学可以大大提高学生的解题能力，对培养学生的能力是十分有益的。

关键词：数学模型；数学模型方法；数学解题

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）02-0077-03

数学模型方法是处理数学理论问题的一种重要方法，也是处理各种实际问题的一般数学方法。现代各门应用数学之所以具有解决实际问题的能力，主要就是通过提供数学模型方法而显示出来的。

一、数学模型与数学模型方法

数学模型的含义很广，粗略地讲，数学模型是针对或参考数学对象的特征或数量关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。这种数学结构是一种用数学概念和符号刻画的关系结构，它通过抽象分析抛弃了一切与关系无本质联系的其他属性。

数学模型有广义和狭义两种解释，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种方程式、函数关系、各种数学公式以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫数学模型。

例1：自然数1、2、3……n……是用以描述离散数量的数学模型。

例2：公式S=πr2是计算圆的面积的数学模型。

例3：欧拉把“哥尼斯堡七桥问题”抽象为一笔画出下图的问题（所谓一笔画成，就是笔不离开纸，而且每条线都只能画一次，不许重复），后者便是前者的数学模型。

构造数学模型的目的，就是为了解决具体的实际问题，因此，在应用数学中，数学模型都作狭义的解释。

数学模型方法就是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，来解决实际问题的一种数学方法。

二、建构数学模型方法解决实际问题

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。利用数学模型方法解决实际问题，一般分三步：

1.根据实际问题的特点，恰当构造数学模型。对所研究的实际问题即现实原型，要分析其对象与关系结构的本质属性，抓往具有关键性作用的量的关系进行考察，在此基础上进行数学抽象，用数学概念、数学符号和数学表达式简洁地刻画事物对象及关系。如现有数学工具不够用时，还可提出新的数学概念和方法，去表现数学模型。

2.在建立的数学模型上进行逻辑推理或数学演算，求得解答。

3.把从数学模型上得到的理论解答返回到现实中去，看看能否确实解决问题。

以上步骤可用框图表示如下：

如以解决“哥尼斯堡七桥问题”为例。其解题过程用框图表示如下：

从上可见构造数学模型是关键性的一步。运用数学模型方法，还需要有较强的理解实际问题的能力，以及通过实践加以验证的能力。为此学生要多学习相关学科的知识，经常接触实际问题，这样就会有助于提高构造数学模型的能力和利用数学模型解决实际问题的能力。

三、数学模型方法在数学解题中的应用

数学课程标准强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生加深对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。师范数学教学虽然比较重视对数学概念的理解，数学公式、定理的推导和证明，但对如何从实际问题出发，通过抽象概念，建立数学模型，再通过对数学模型的分析研究去解决实际问题方面的训练较少，致使学生解决实际问题的能力不强。因此重视数学模型方法的教学对培养学生的能力，尤其是学生的解题能力是十分有益的。现举几例来说明数学解题的模型方法。

1.概念型数学模型：建模与概念原型

例1：设a>0，b>0，a+b=1，证明：■+■≤2■

思考：只要将求证式变形成

■≤2

即可想象左式为点A（■，■）到直线x+y=0的距离。

又因a+b=1，（■）2+（■）2=4

可看出点A在圆弧x2+y2=4（x>0，y>0）上。最后由AO≥AD即可证明得结论。

此题的证明，引导学生将旧知进行迁移和提升，主要借助于“点到直线的距离”和“圆”的概念来解决的。这可以看作是一种概念型数学模型。很多这样的模型都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物。

2.方法型数学模型：建模与符号化思想

例2：设a、b、c为非负数，求证：■+■+■≥■（a+b+c）

思考：观察求证式之左边为算术根之和，且根号内出现平方和，由此结构特征，联想到复数的模，故不等式左端可视作复数的模之和。由于a、b、c为非负数，右端则有a+b+c=a+b+c

由复数模的性质：z1+z2+z3≤z1+z2+z3为模型，设复数z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai

由式可以得

■+■+■≥

■=■（a+b+c）

此种建模可看作是一种方法性模型。作为一种方法型数学模型，不能仅仅满足于形式化地将模型揭示出来，更要知晓其背后的原理，这也许就是大家常说的算法与算理的统一吧。

3.结构型数学模型：建模与变式理论

例3：证明：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

分析：此等式当然可应用配方等方法来证明。但由左边式子的特点可以看出它是一个三阶行列式的展开式，若能以a、b、c为元素构造一个三阶行列式的模型，则可利用三阶行列式的性质展开行列式，从而达到证题的目的。

证明：以a、b、c为元素构造行列式，并有

a b cc a bb c a=a3+b3+c3-3abc

根据行列式的性质得：

a b cc a bb c a=a+b+c b cc+a+b a bb+c+a c a=（a+b+c）1 b c1 a b1 c a=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

上例可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才有活力和魅力，也才能彰显其意义。

通过上面的几个例子，我们可以初步领略在解决问题中数学模型是怎样发挥其功能的。在解答数学题时，教师如果有意识地引导学生从题目的特点出发恰当构造几何、代数、三角等数学模型，往往能另辟蹊径，寻找出简便解法，闯出一条新路子。学有余力的同学，将这种方法作为其他解法的补充，于发展智力、培养能力是有益的，尤其有助于提高解题能力。

总的说来，数学模型是对现实世界的某一特定研究对象，在作了必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等。有了建模意识，把数学模型方法恰当地应用到数学解题中，可以让我们对数学问题的把握更贴近本原，目光更长远，见解更独到。

Application of Mathematics Mold Method in Problem Solving

QI Jin-ling

（Yancheng Higher Normal College， Yancheng 224006， China）

Abstract： Mathematics mold is actually a kind of mathematics structure by referring to the features or quantitative relations of mathematics objects and by adopting the formalized language of mathematics. Mathematics mold method is an important method of dealing with mathematic questions and also a mathematic way of solving practical problems. Using the method needs stronger abilities of understanding and testing through practice. Emphasis on using this method may greatly increase students’ ability of solving questions， which is extremely salutary to the cultivating of their competence.

Key words： mathematics mold； mathematics mold method； mathematic problem solving