浅析高中数学数列问题中的递推关系的应用

摘 要: 世界上的一切事物都在不经意之中变化着,在这纷繁的变幻中,许多现象的变化是有规律可循的。这种规律往往呈现出前因和后果的关系,故我们可以运用递推的思想去研究这些变化。本文着重用实例的方法说明了递推关系的运用。

关键词: 高中数学 数列问题 递推关系应用

在高中应用题中以数列知识作为背景的应用题是的常见题型,要正确快速地求解这类问题,需要在理解题意的基础上,正确处理数列中的递推关系。建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几项的关系式,以及初始项的值。它不是一种抽象的概念,是需要针对某一具体题目或一类题目而言的。我们将对递推关系的建立作比较深入具体的讨论。

一、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列中的基础,若能转化成一个等差、等比数列问题,则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例1:流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,以后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数。

分析:设11月n日这一天新感染者最多,则由题意可知从11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列;从n+1日到30日,每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。

略解:由题意,11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列a,a=20,d=50,11月n日新感染者人数a=50n-30;从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列b,b=50n-60,d=-30,b=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b=20(30-n)-30=-20n+570。

故共感染者人数为:+=8670,化简得:n-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染者人数最多,为570人。

二、形如a-a=f(n),f(n)为等差或等比数列时递推关系的应用

有的应用题中的数列递推关系,a与a的差(或商)不是一个常数,但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列,这在一定程度上增加了递推的难度。

例2:某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获利a元的前提下,可卖出b件。若作广告宣传,广告费为n千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出件(n∈N)。

(1)试写出销售量s与n的函数关系式;

(2)当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品?做几千元广告,才能获利最大?

分析:对于(1)中的函数关系,设广告费为n千元时的销量为s,则s表示广告费为(n-1)元时的销量,由题意,s-s=,可知数列{s}不成等差也不成等比数列,但是两者的差构成等比数列,对于这类问题一般有以下两种方法求解。

解法一:直接列式:由题,s=b++++…+=b(2-)。

(广告费为1千元时,s=b+;2千元时,s=b++;…;n千元时,s=b++++…+。)

解法二:(累差叠加法)设s表示广告费为0千元时的销售量,

由题:s-s=s-s=……s-s=,相加得S-S=+++…+,

即s=b++++…+=b(2-)。

(2)当b=4000时,s=4000(2-),设获利为t,则有t=s•10-1000n=40000(2-)-1000n。

欲使T最大,则:T≥TT≥T,得n≥5n≤5,故n=5,此时s=7875。

即该厂家应生产7875件产品,做5千元的广告,能使获利最大。

三、a=C•a+B,其中B、C为非零常数且C≠1时递推关系的应用

例3:某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg2=0.3)。

分析:设经过n年后,该项目的资金为a万元,则容易得到前后两年a和a之间的递推关系:a=a(1+25%)-200(n≥2),对于这类问题的具体求解,一般可利用“待定系数法”。

解:由题,a=a(1+25%)-200(n≥2),即a=a-200,设a+λ=(a+λ),展开得a=a+λ,λ=-200,λ=-800。a-800=(a-800),即{a-800}成一个等比数列,a=1000(1+25%)-200=1050,a-800=250,a-800=250(),a=250()+800,令a≥4000,得()≥16,解得n≥12,即至少要过12年才能达到目标。

四、两个(或多个)不同数列之间的递推关系

有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系,对于该类问题,要正确处分没数列间的相互联系,整体考虑。

例4:甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml,同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液,将近倒入对方的容器搅匀,这称为是一次调和,记a=10%,b=20%,经(n-1)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a、b,

(1)试用a、b表示a、b;

(2)求证数列{a-b}是等比数列,并求出a、b的通项。

分析:该问题涉及两个不同的数列a和b,且这两者相互之间又有制约关系,所以不能单独地考虑某一个数列,而应该把两个数列相互联系起来。

解:(1)由题意:

a==a+b;b==b+a。

(2)a-b=a-b=(a-b)(n≥2),

{a-b}是等比数列。又a-b=-10%,

a-b=-10%()(1)

又a+b=a+b=…=a+b=30%(2)

联立(1)、(2)得a=-()•5%+15%;b=()•5%+15%。

递推关系不是一种抽象的概念,它是具体的,是需要针对具体题目而言的。因此,我们无法找出一种方法建立出所有的递推关系,只能根据需要解决的题目的具体条件来分析。虽然递推关系的建立没有一个固定的模式可循,但是从总体上来说,都要先找出题目中的重要条件,在这基础上分析某一项与其前面的若干项的关系,然后找出边界条件。所以学好递推关系的建立,无论是对提高我们的数学素质,还是提高应用能力,都很有帮助。

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