绝对值不等式中的“恒成立”和“有解”问题解法探究

【摘要】绝对值不等式是高中新课标教材《不等式选讲》中的重要内容之一，在历年高考卷中，常与集合或函数综合在一起进行考查，在新课标高考卷中，经常作为最后一道解答题（三选一）出现.利用“恒成立”和“有解”问题求某个参数的取值范围是最后一道解答题的第二问考查的热点内容，也是难点之一，对这类问题，很多学生感到茫然，无从下手，本文通过对实例的分析，探究这两类问题的解题思路，并对相应的解题方法技巧进行总结.

【关键词】绝对值不等式;恒成立;有解

思路一 可以将“恒成立”或“有解”问题转化为求分段函数最值问题.适用条件：可以进行参数分离，即可以将参数移到不等式的一侧.

例1 已知f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）

（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域.

（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求实数m的取值范围.

解析 该题第一问求函数定义域，实际上是解绝对值不等式问题，可以利用“零点分段法”进行求解.第二问是一个恒成立问题.

（1）m=4时，f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-4），要使函数有意义，自变量x需满足条件|2x+1|+|x+2|-4>0，可以用“零点分段法”对该不等式进行求解.具体解题过程略.

（2）f（x）≥1的解集是R对x∈R，f（x）≥1恒成立对x∈R，log2（|2x+1|+|x+2|-m）≥1=log22恒成立对x∈R，|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立.（此时参数m被移到了不等式的一边）令g（x）=|2x+1|+|x+2|，只要g（x）min≥m+2即可，所以该问题转化成了求新函数g（x）的最小值问题.要想求g（x）的最小值，可以先将函数y=g（x）表示成分段函数的形式，再通过它的图像或利用函数的单调性来求得.

思路二 数形结合，利用函数的图像求参数范围.（适用条件：若参数不容易分离，即不能把参数移到不等式的一侧时，通常利用数形结合的思想进行求解.）

例2 （2010新课标全国卷）设函数f（x）=|2x-4|+1

（1）画出函数y=f（x）的图像.若不等式f（x）≤ax的解集非空，求实数a的取值范围.

解 （1）f（x）=|2x-4|+1=2x-3 x≥2

-2x+5 x<2作出函数的图像如图1所示.

图 1 图 2

（2）解 f（x）≤ax的解集非空f（x）≤ax有实数解.（此时若分离参数a，需要分x>0和x<0两种情况进行讨论：x>0时，f（x）x≤a有解;x<0时，f（x）x≥a有解，而这时求新函数g（x）=f（x）x的最值比较困难和麻烦，但是如果将ax看作另一个函数g（x），即设g（x）=ax，会使问题变得简单很多.）设g（x）=ax，则f（x）≤g（x）有实数解存在x∈R，使得f（x）≤g（x），在图像上则表现为函数y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有交点（函数y=g（x）的图像是过原点（0，0），斜率为a的直线），由图2可知a≥12或a<-2.

方法总结

（1）首先识别是“恒成立”还是“有解”问题.

（2）判断是否可以分离参数，如果可以，将问题转化为求新函数的最值问题;如果不可以，利用数形结合的思想求参数范围.

（3）“恒成立”问题常见形式：

f（x）>m恒成立f（x）min>m，

f（x）<m恒成立f（x）max<m，

f（x）<m解集为f（x）≥m恒成立f（x）min≥m

（4）“有解”问题常见形式：

f（x）<m有解f（x）min<m，

f（x）>m有解f（x）max>m，

f（x）<m解集非空f（x）<m有解f（x）min<m.