也谈函数对称性的简单探究

函数的对称性是函数的主要性质之一，与函数的其他性质有紧密的联系，而求函数的对称轴的问题是函数部分常见的一类问题，在各种复习资料以及高考和竞赛试题中经常以客观题的形式出现。下面我就拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

1.1 问题的提出[WTBX]

问题一 对于函数y=f(x)，若满足f(x+1)=f(1－x),则函数y=f(x)的图象关于x=________对称。

问题二 对于函数y=f(x)，在同一坐标下，函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于x=________对称。

1.2 问题的解决

对于问题一，可有多种不同的解题思路。

方法一（图象法）：由函数图象的对称性，对于两个不同的变量x+1和1-x对应的函数值相等，则有y=f(x)对称轴为x=(x+1)+(x－1)2=1。

方法二（赋值法）：令x=1则f(2)=f(0),则y=f(x)的对称轴为x=2+02=1。

方法三（特例法）：令f(x)=(x－1)2,则f(x+1)=x2=f(1－x),而f(x)关于x=1对称。

对于问题二，常见的解法如下：

方法一（特例法）：令f(x)=x，则y=f(x)=x－1,y=f(1-x)=1-x,从图象上可看出这两个函数关于x=1对称。

方法二（图象法）：因为f(-x)的图象和y=f(x)的图象关于y轴对称，而f(x-1)和f(1-x)的图象均是f(-x)和y=f(x)的图象向右平移了1个单位，所以这两个函数关于x=1对称。

1.3 问题的普遍性

上面的问题是两种求函数对称轴的典型例子。

（1）已知一个等式，求一个函数的对称轴方程。

结论1:已知f(x+a)=f(a-x)，则x=a是y=f(x)的对称轴。

结论2:已知f(x)=f(2a-x),则y=f(x)关于x=a对称。

（2）已知一个函数，求两个函数的对称轴问题。

结论3:函数y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。

结论4:函数y=f(x-a)与y=f(a-x)关于x=a对称。

1.4 问题的推广

问题三 已知f(x-1)=f(2-x)，则y=f(x)关于x=________对称。（利用上面的解法可直接推出y=f(x)的对称轴x=(x－1)+(2－x)2=12）

问题四 对于任一函数y=f(x)，函数y=f(x-1)与y=f(2-x)关于x=________对称。

（要求两个函数对称，只需令x-1=2-x，解得x=32，这就是对称轴）

问题三的证明如下：设P(x0，y0)是y=f(x)的图象上任意一点，则它关于x=12的对称点为P(1-x0,y0),而f(1-x0)=f\[-1+(2-x0)\]=f\[2-(2-x0)\]=f(x0)=y0，这说明P(1-x0,y0)在函数y=f(x)的图象上，问题三得证。（问题四的证明此略）

结论5:函数y=f(a-x)的图象与函数y=(b+x)的图象关于直线x=a－b2对称。

结论6:已知y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称。

结论7:函数y=f(a-tx)的图像与函数y=f(b+tx)的图象关于直线x=a－b2t对称。

结论8:若f(a+tx)=f(b-tx)，则y=f(tx)的图象关于直线x=a+b2对称。

上面结论的证明类似于问题三的证明，此略。

综合以上结论知：（1）求一个函数的对称轴方程就是x等于函数自变量部分之和，除以x的余数的绝对值的2倍。（2）求两个函数的对称轴方程就是让函数的自变量相等解出x。

二、不同函数的对称问题

结论9:若点P(x1,y1)关于点Ａ（a,b）对称点为Q(x2,y2)，则x2＝2a-x1,y2=2b-y1。

若点P(x1,y1)关于直线Ax+By+C=0对称点为Q(x2,y2)，则x2＝x1－2A(Ax1+By1+C)A2+B2，y2＝y1－2B(Ax1+By1+C)A2+B2。

结论10:函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。

结论11:⑴函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图象关于直线x=a成轴对称。

⑵函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图象关于直线x+y=a成轴对称。（证明留给读者）

⑶函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图象关于直线x－y=a成轴对称。

推论：函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数的对称轴问题

⑴sinx=sin(π-x)=sin(2kπ+π-x)，y=sinx的对称轴为x=kπ+π2。

⑵cosx=cos(-x)=cos(2kπ-x)，

y=cosx的对称轴为x=kπ。

结论12:⑴y=sin(ωx+φ)的对称轴为x=kπ+π2－φω.

⑵y=cos(ωx+φ)的对称轴是x=kπ－φω。

四、结束语:

以上从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面论述了函数的对称性,总结了解关于轴对称函数问题的基本方法和基本技巧,而函数的对称性内容非常广泛，还需要我们不断总结和归纳，使之有利于我们学习成绩的提高。函数的对称性是函数的一个基本性质，也是函数的主要性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

（作者单位：河南省平顶山市理工学校)