基于最优化的学校投资分析

摘 要：把经济学中投资的引入教育投资，教育投资不仅仅是纯消费性的支出，投资也是一种具有生产性的投资，应该考虑如何节省经费开支，减少资金占用，提高资金使用效益问题。本文运用了拉格朗日法、线性规划、神经网络法利用现实教育投资的例子，说明在用于人才培养 、科研开发等方面学校需要在公平基础上就讲究效率，而在人才培养 、科研开发过程中产生的一些附属投资必须以效率为先，优化教育资源配置，合理、有效地使用教育经费，做到教育投资的最优化。

关键词：教育投资最优化；拉格朗日法；线性规划；神经网络法

一、最优化在学校投资分析应用中的发展

教育投资，也称教育资源，教育投入，教育经济条件等，是指一个国家或地区，根据教育事业发展的需要，投入教育领域中的人力，物力和财力的总和。从1992年中国政策性教育经费投入占GDP的2.73%到2007年的3.32%，中国教育投入正逐年稳步提升，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》明确提出，提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值的比例，2012年达到4%。

教育投资是投入教育领域中，用于培养不同熟练程度的后备劳动力和专门人才，以及提高劳动力和专门人才智力的人力和物力的货币表现。［1］但是，它与一般的企业直接用于物质生产的投资相比，学校投资具有非营利性特点，在用于人才培养 、科研开发等方面可能会不计或暂不计成本的投入和效率。相关统计显示：我国创造单位GDP所需的研发员是日本3.68倍，所需科学家与工程师人数是美国的4.48倍。［2］长期以来，我们国家对公立学校实行“供给制”，所有经费全部由财政包下来，由国家财政平衡着单位预算，在这种状况下，教育是一种政府行为，所需经费完全由国家财政无偿拨款解决，学校只是将“拨入经费”转化为“经费支出”，至于开支是否合理和必要，则无人过问。在组织教育经费支出核算过程中，侧重教育经费开支的合法性，偏废经费支出的合理性和效益性。

教育研究者开始认识到教育投资不仅仅是纯消费性的支出，投资也是一种具有生产性的投资，应该考虑如何节省经费开支，减少资金占用，提高资金使用效益问题。在用于人才培养 、科研开发等方面学校需要在公平基础上就讲究效率，而在人才培养 、科研开发过程中产生的一些附属投资必须以效率为先，优化教育资源配置，合理、有效地使用教育经费，做到教育投资的最优化。

最优化问题指做一切工作，从一切可能的方案中选出最优的方案，可以从两个方面加以考量：即产出既定时，考虑投入的最佳配比，使投入最少；投入既定时，产出最大。这里所说的“最大”“最少”是指在综合应用中的考虑到各种约束条件下的最合适的。概括最优化学校投资方面的应用：

1）现有人力、物力条件下，合理安排，使总产值为最高：如学校的科研投入与产出；学校建筑招标的权衡；学校广告投入；

2）教学过程最优化：巴班斯基用系统论观点把教学过程看作一个系统，它是由目的；激发——动机；教学内容；操作——活动；检查——调整；效果——评价六个基本要素组成的。他提出效果和时间耗费两个标准。效果标准是指在学生达到国家规定水平的前提下，针对不同学校和班级，提出不同的评价标准。对效果的评价必须从教养、教育和发展三个方面全面衡量，而不能局限于学生的学业成绩；时间标准是指“教师和学生都遵守有关课堂教学和家庭作业的时数规定”。［3］根据巴班斯基教学过程最优化理想，李延保［4］研究了中医外科教学最优化，毛亮清［5］研究了英语教学过程中的最优化；玲［6］更是研究其对我国教学改革的启示。

3）校区布局、规划生源方面： 各城区生源最优化的配置给各城区学校的方案；

4）教育投资来源及供给规模预测。

二、常用的最优化方法

2.1朗格朗日乘数法：设给定二元函数z=f（x ，y）和附加条件φ（x，y）=0，为寻找z=f（x，y）在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数：L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），

其中λ为参数。求L（x，y）对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即L'x（x，y）=f'x（x，y）+λφ'x（x，y）=0，

L'y（x，y）=f'y（x ，y）+λφ'y（x ，y）=0，

φ（x，y）=0

由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的（x，y），就是函数z=f（x，y）在附加条件φ（x，y）=0下的可能极值点。

2.2线性规划：线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。在Matlab 中规定线性规划的标准形式为

其中，z是目标函数，st是条件约束。

2.3人工神经网络法：人工神经网络（ANN ）是在对人脑组织结构和运行机制的认识理解基础之上模拟其结构和智能行为的一种工程系统。神经系统的基本构造是神经元（神经细胞），它是处理人体内各部分之间相互信息传递的基本单元。神经元细胞体将接受到的所有信号进行简单地处理（如：加权求和，即对所有的输入信号都加以考虑且对每个信号的重视程度—体现在权值上—有所不同）后由轴突（神经细胞连接其他神经细胞的部分）。

三、基于拉格朗日函数法的最优化学校投资案例分析

某高校在选择不同媒体做广告宣传时，通过同类高校横截面数据的回归分析得到如下回归方程［7］：

s（x，y）=400x+200y-20x＼+2-40y＼+2+40xy

其中因变量S为报考学生数量，它是两种不同宣传广告支出的函数，x代表电视广告支出（千元），y代表纸类广告支出（千元）。

假设两种广告支出限制在40单位。求：1。在这个广告支出限制内是报考人数最大化的电视广告和纸类广告的支出水平各为多少？2。在这个预算约束下的最优报考人数为多少？3。两种广告总支出每增加一单位，报考人数将增加多少？4。在无约束条件下报考人数最多可能是多少？

根据朗拉格朗日函数法首先把x + y=40变形为u（x，y）=x+y-40=0；

其次构建人工变量λ组成拉格朗日方程，本问题属于最大化问题，故函数为：

L=S（x，y）-λ*u（x，y）=400x+200y-20x＼+2-40y＼+2+40xy -λ（x+y-40）；

将L对每个自变量进行偏微分，令其导数为零，构建联立方程：

400-40x+40y-λ=0；200-80y+40x-λ=0；x+y=40；解方程组的：x=25，y=15，s=6500， λ=0；

在无约束条件下结果相同。因此，所求问题答案如下：在预算约束下电视广告投入25千元，纸类广告投入15千元，在这个水平下报考人数最多为6500人，由于λ=0，说明无论广告支出增加多少，报考人数都不会增加。

基于线性规划函数法的最优化学校投资案例分析

由于城区旧城改造、新居建设以及人口流动等因素，现需将城区的六个街区小学生重新分配至该城区的三所学校A、B、C中去。［8］经统计已知六个街区的小学生总人数以及低、中、高年级的比例（见表1）。

同时考虑到可能出现跨街区上学的可能，为了保证学生的安全，每个学校将提供一定的上下课接送服务，由此产生的交通成本费用由上学的远近决定。具体数据见表2，其中0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务。

另一方面，学校为了保证教学质量，规定每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。

从学校利益角度考虑，对不能够享受接送服务的地区，学校不必付出交通费用，故我们将不能够提供接送服务的地区交通费用也定为0元，学校接生交通成本最低为规划最优方案。其中学校所需总的交通费用为每一流动路线学生总人数乘以该路线所需交通成本之和。 由此我们可以得到以下

目标函数：

约束条件：

其中a学校容量，xij： i地区低年级学生到第j学校的人数，yij：i地区中年级学生到第j学校的人数；zij：i地区高年级学生到第j学校的人数 ；cij：i地区接送学生到第j学校的费用；di： i地区低年级学生人数；wi：i地区中年级学生人数；gi：i地区高年级学生人数。

利用matlab软件作为计算工具， 得这种方案产生的总费用为145000（单位），具体人员分配方案见下表3

四、基于神经网络的最优化中国高等教育投资供给规模预测案例分析

市场经济迅速发展，加上国际竞争日益激烈，各行各业对高技术专业人才的需求量越来越大，而人才的培养必须以一定的高等教育投资来保证，本案例引用郎益夫［9］《基于神经网络的中国高等教育投资供给规模预测》论文中运用神经网络法研究关于高等教育投资规模最优化预测的成果，来说明非经典最优化算法中神经网络算法在学校实际案例中的运用。

采用3层BP神经网络，输入层设3个结点，分别对应GNP、全国工业总产值和支出法全国居民消费等属性，输出层设1个结点，对应高等教育总经费属性。训练次数和训练精度分别定为10 000和5×10-6，隐层结点数按公式m+n+a（n为输入神经元数，m为输出神经元数）计算，隐层数应该在3～13个之间。设计一个隐层神经元数目可变的BP网络，通过误差对比，确定最佳隐层神经元个数为10，因此采用的神经网络结构为3—10—1结构。网络中间层神经元激励函数采用tansig函数，输出层神经元激励函数采用purelin函数。

郎益夫使用1991年～2000年的GNP、全国工业总产值和支出法全国居民消费的数据进行实验训练，用2001年～2003年的数据进行测试结果，得出2001～2003年高等教育总经费分别是92 315 306万元、107 901 330万元、148 315 651万元。

五、结论

通过以上三个具体事例，在学校投资及资源配置等方面，通过经济学的视角来考虑教书育人，最优化技术在学校是有一定的适用性和实用性的，无论采取何种具体算法，都能根据要解决的问题得到相应的答案。但由于学校中很多变量很难通过量来衡量，如人才质量，教学效果；其次学校有区别有企业的非盈利性特点，在构建目标函数是有一定局限。这些使得最优化技术在学校应用中，有一定的困难，再加上最优化技术，虽然理论上易理解，但实际运用别是量的计算时，有一定的难度，所以最优化在学校应用还有更多值得研究和考虑的因素。

［参考文献］

［1］王世忠等.筒论教育投资的性质_特点及其负担原则［J］.社会发展：45-46.

［2］李国杰.提高科研效率要看产出影响［J］.创新论坛.05.

［3］刘昕. 巴班斯基的教学过程最优化思想［J］.中国学校体育。2000（05）.

［4］李延保. 论巴氏最优化理论在中医外科教学中的应用［J］.中国高等医学教育.2010（9）.

［5］毛亮清. 巴班斯基最优化教学理论和英语教学［J］.教学与管理。200802.

［6］玲. 巴班斯基教学过程最优化理论对我国教学改革的启示［J］.陇东学院学报.200911.

［7］崔玉平著.中国高等教育经济学研究［M］.黑龙江教育出版社.2005年第一版：162-165.

［8］，2012-6-15.

［9］郎益夫等.基于神经网络的中国高等教育投资供给规模预测［J］.哈尔滨工程大学学报.200608.

（作者单位：苏州大学教育学院，江苏 苏州 215123）