渗透数学思想提高学生能力

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。人们把它们称为数学思想方法。“渗透”就是把某些抽象的数学思想方法逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中。使学生对这些思想方法有初步的感知或直觉。

一、在教学中为什么要渗透数学思想

数学思想是教材体系的灵魂。能凝结知识结构。使知识组成一个有机的整体。它是我们进行教学设计的指导思想，也是课堂教学质量的重要保证。

在教学中渗透数学思想，可以使学生在解题时。加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析问题的能力。因此，向学生渗透一些基本的数学思想。提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。是学生学习数学知识本身的需要。也是学生适应未来社会的要求和国际数学教育发展的需要。

二、在小学数学教学中可以渗透哪些数学思想

以下几种数学思想在教材中分布非常广泛，学生容易接受，并对学生数学能力的提高有很好的促进作用。

1　化归思想。

所谓“化归”，就是转化和归结。化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。即在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲(化归的对象)，通过某种转化过程(化归的途径)，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙(化归的目标)，然后通过乙问题的解决返回去求得问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想。教材中有这样一道题：一个长方体。长70厘米，宽50厘米，高45厘米。如果要将其切成小正方体，这些小正方体的棱长最大可以是多少厘米?这是一个实际问题。但通过分析知道，这些小正方体的棱长就是这个长方体长、宽、高的最大公约数。针对这种情况，只要求出这三个数的最大公约数，问题就解决了。这种化归思想正是数学能力的表现之一。再有平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导，也是根据化归思想进行教学的。化归思想不但在几何教学中运用广泛，在计算教学中运用也非常广泛。如减法转化为加法，乘法转化为除法，分数除法转化为分数乘法等。

2　符号思想。

用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容，这就是符号思想。用符号来体现的数学语言是世界性语言。是_个人数学素养的综合反映。数学符号除了用来表述外。它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操。那么数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。小学生刚入学就接触了数字符号、运算符号、图形符号等。一年级教材中还用“()”代替变量x，让学生在其中填数。到小学四年级。在教学“加、减法各部分间的关系”这部分内容时，出现用字母∞表示数的思想。

在数学中各种量的关系、量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。如加法结合律(a+6)+c=a+(6+c)，这里的a、6、c不仅可以表示整数，也可以表示小数、分数等。

以上所述都是符号思想的具体体现。它把原来需要复杂的语言文字叙述的东西用简洁明了的字母公式表示出来。使之便于记忆与运用。

3　建模思想。

数学建模是指根据具体问题。在一定假设条件下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现、提出、理解问题。通过转化过程。归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想。数学建模思想的教学渗透不仅是大学生、研究生的教育问题，在小学里逐步进行有关数学建模思想的渗透更顺应了当前素质教育和教学改革的需要。数学中的各种基本概念都以各自相应的现实模型作背景。如自然数集是用以描述离散数量的模型。各类几何图形也是从现实中抽象出来的数学模型。这些基本的数学模型使我们能对与之联系的实际问题，触类旁通。

例如在平行四边形面积计算这一节课的教学中。学生能否顺利解决问题，关键在于理清长方形与平行四边形之间的知识联系。学生已建立了长方形的平面模型，s=ab，运用割补、平移法把平行四边形转化为长方形。从长方形面积公式出发推导出平行四边形的面积公式。沟通了它们之间的内在联系。学生学会了建模，有顿悟之感。在整个教学过程中，强调了数学学习经历“问题情境――分析转化――建立模型――实际应用”的基本过程，从而完成平行四边形的建模。学生通过主动参与、亲自体验、独立思考、合作探究，实现了学习方式的转变，改变了单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式。发展了学生搜集和处理信息的能力，以及交流与合作的能力。

4　函数思想。

函数思想本质、辩证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。函数思想的可贵之处在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中。教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。小学生在学习乘除法时，对函数关系就有一定的体验。例如，积的变化规律，商不变规律。比例关系也是一个特殊的函数关系。小学生对函数的理解，并不是符号化的理解，而是在日常的生活实践的基础上获得的。对于小学数学教学来说，学生对函数思想的体验是一种重要的过程性目标。

研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。这在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在解决行程问题时，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程。而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程。构造函数，需要思维的飞跃。利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰。解法巧妙，引人入胜。

此外还有很多数学思想蕴含在教材中。如集合思想、极限思想、优化思想、统计思想、类比思想、分类思想等。

三、在小学数学教学中怎样渗透数学思想

在教学中。可通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领会蕴含在方法中的数学思想。同时，数学思想的指导又深化了数学方法的运用。方法与思想珠联璧合，才能使教学卓有成效。

1　运用方法，渗透思想。

由于小学生数学知识比较贫乏。抽象思维能力也较为薄弱。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想的教学渗透到数学知识的教学中。如小学二年级教材《锐角和钝角》的教学中，教师作了适当的铺垫(复习了角与直角的有关知识)后，让学生通过操作摆出各种不同的角。然后让学生抽出已认识的直角，比较剩下的角与直角的关系，使学生感受什么是锐角、钝角。在整个教学过程中，教师

分别用操作法、观察法、比较法等，向学生渗透了分类思想。在小学数学第九册《多边形面积的计算》这一单元复习中，可以组织学生讨论、思考本单元是如何把新知识转化为旧知识的。学生用网络图示法归纳出本单元用了割补法，把平行四边形转化为已学过的长方形进行面积公式的推导，又用旋转平移法，把三角形转化为平行四边形，把梯形转化为平行四边形或三角形等。借助于割、补、旋转、平移等方法可将一般的几何图形转化成已学过的熟悉的几何图形，从而使新问题变得比较容易解决。这就是通过揭示与提炼，归纳与总结，很自然地向学生渗透了化归思想，使学生逐步体会到化归思想的精神实质。又使这一章节的重点突出，难点分散，学生易于接受。

2　运用思想指导方法。

叶圣陶先生说过：“教是为了养成学生一辈子自学能力。”因而，教学生学会学习对学生终生获取成功具有十分重要的意义。小学高年级学生已掌握了一些最基本的数学思想，因此在教学过程中，教师要精心设计，有机结合，启发学生回忆、应用已知的有关的数学思想去分析解决新的问题。如在教学比的基本性质时。可以引导学生运用化归思想，把比转化为除法或分数。运用函数思想思考在比中有什么样的规律，孩子们正确地运用了计算法、验证法、归纳法等总结出比的基本性质，从而将比这个新知转化为旧知。完成了知识的迁移过程。

在教学圆的面积公式推导时，学生已具备了求平面图形面积的建模思想。在教学这部分知识时。可引导学生回忆如何推导平面图形的面积公式。学生运用化归思想尝试用分割圆的方法，把“圆”变“方”。正确地运用了自学法、操作法、讨论法以及迁移法。从各个角度推导出圆的面积公式。从而归纳出一般方法。同时运用化归思想把新知识转化为旧知识。再要求学生运用公式来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法。运用了符号思想。

3　教师在教学中还应注意以下几个方面。

(1)提高渗透的意识。对数学思想的要求应放在每节课的能力目标，并融入备课环节。通过每堂课的学习，从中领悟、体验数学思想的形成与运用。例如。在“列方程解应用题”的备课时，就要挖掘方程思想方法和化归思想方法的教学目标。在进行课堂小结、单元复习时，适时地对某种数学思想方法进行揭示、概括和强化。

(2)把握渗透的时机。例如概念的形成过程、思路探索的过程、方法思考的过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。

(3)注意渗透的反复。数学思想方法的形成是在启发学生思维的过程中逐步积累起来的。为此，在教学中，首先要注意加强题后反思，重视方法的提炼与概括。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法。对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次还要注意渗透的长期性。对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕的，必须经过循序渐进和反复训练。