强化反思训练, 提升解题能力

摘 要： 反思是数学思维活动的核心和动力。在习题课教学实践中，引导学生从知识脉络、解题思路、解题过程、错解根源和变式拓展等五个方面进行反思性学习训练，有利于学生夯实基础知识，提高审题能力，掌握解题方法，优化思维能力，把握解题规律，提升解题能力。

关键词： 数学教学 反思训练 解题能力

荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心与动力。”由此可见反思在数学学习中的重要性。在习题讲解过程中采取各种有效措施对学生进行反思性数学学习训练，促使学生由被动反思转为主动反思，由不会反思变成善于反思，是提高学生解题能力的有效途径。在数学教学中，我从以下几方面引领学生学会反思。

一、反思知识脉络，夯实基础知识

习题训练的目的是对已学知识进行巩固，进而熟练运用。因此，在反思过程中，教师要引导学生理清题干中的知识点及知识点之间的联系，并加以巩固。如：

例1：已知圆的方程x+y-6x-4y+12=0，求在y轴上的截距为1，且与圆相切的直线方程。

教师讲解解题过程后，通过一系列设问，引导学生一步步反思知识点，总结题型结构。学生通过反思，应总结出的知识点有：

（1）圆心坐标公式（-，-）；

（2）半径公式：r=；

（3）直线方程：点斜式y-y=k（x-x），斜截式y=kx+b；

（4）点到直线距离公式：d=；

（5）直线与圆的位置关系的判别方法：

距离法：相交：d＜r相切：d=r相离：d＞r

判别式法：相交：Δ＞0相切：Δ=0相离：Δ＜0

如果学生能坚持这样进行反思，对于考试的知识脉络将了然于心，夯实基础知识就不会是一句空话了。

二、反思解题思路，提高审题能力

解题思路就是将理解题意时所获信息和头脑中的信息结合起来，进行加工、重组与再生，使思维向目标靠近，实现问题解决的过程。因此，反思解题思路的形成过程就是对信息加工、重组与再生的反思，探索如何实现从初始状态到目标状态的转化，选择哪条途径，解题关键在哪里，看是否可用一般原理代替许多步骤，提高思维层次。结合例1，教师可以这样引导学生反思解题思路。

教师：本题解题过程中，核心环节是什么？

学生：圆心到切线的距离等于半径，即d=r。

教师：求圆心到直线的距离需要哪些条件？

学生：圆心坐标与直线方程。

教师：很好！由此，我们可以总结出本题的解题步骤了，本题可以分为几个步骤来解答？

学生：四个步骤。第一步，设出直线方程；第二步，求圆心坐标与半径；第三步，求圆心到直线的距离，并代入公式d=r；第四步，化简求值得出结论。

教师：由此，我们可以得出如下解题规律：欲求切线方程，关键在于求出圆心到直线的距离，此时需要圆心坐标、半径及直线方程三个基本条件。

通过这样的反思，解题思路就会比较自然、有条理，从而大大地提高了思维层次，审题能力也会上一个新台阶。

三、反思解题过程，掌握解题方法

建构主义认为，学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是依据其已有的知识和经验所作的主动建构。解题过程反思是对解题活动的反思，它是对解题活动的深层次的再思考，不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，更重要的是深究数学解题活动中涉及的知识、方法、思路、策略等。因此在总结知识脉络、反思解题思路之后，教师应引导学生回顾解题过程，分析破题关键，理清解题步骤，拓展解题思路，优化思维方式。特别是引导学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，通过探求一题多解，鉴别不同方法之间的作用、特征及差异，挖掘解决问题的核心问题与共同本质，最后升华为解题方法。如：

例2：求证=tanθ

证法1：（运用二倍角公式统一角度）

左边===右边

证法2：（逆用半角公式统一角度）

左边===右边

证法3：（运用万能公式统一函数种类）设tanθ=t

左边===t=右边

证法4：可用变更论证法。只要证下式即可。

（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）

证法5：由正切半角公式tanθ==，利用合分比性质，则命题得证。

这样，学生从不同的侧面、多角度地思考体会探索的方法、策略，在不断反思中，加深了对知识的理解，掌握解决问题的多种方法，沟通了知识与能力间的纵横关系，训练和培养了发散思维能力，提高了综合解题能力。

四、反思错解根源，优化思维能力

美国心理学家R.bainbrdge说：“差错人皆有之，作为教师不利用则是不能原谅的。没有大量的错误作为台阶就不能攀登上正确的宝座。”因此，面对在数学解题过程中，学生往往会出现形形的错误，教师除了纠正学生的错误，提出正确解法之外，还应引导学生反躬自省，挖掘错解根源，探寻突破迷局的路径，从而在探求新知的过程中加深对知识本质的理解和掌握，提高数学思维能力。

例3：求函数y=sin2α++（α∈0，）的最小值。

学生解答1：y≥2+=

学生解答2：y=sin2α+++

显然，会有学生对这两种解法提出质疑：等号取不到。最后经过积极论证，学生发现了下面解法：

y=sin2α+++

≥?2++

=++=2

这样本题迎刃而解。但如果此时师生立即停止探究，则学生仅仅了解了本题的错误之外，收获并不大。或许学生还会存在这样的疑惑，这样的分拆是否唯一？再次碰到类似的问题，怎样分拆才合理呢？面对这样的疑惑，教师应积极引导学生进行反思。

反思1：除了上述分拆方法，还有别的合理分拆方法吗？

y=sin2α+-+

≥2-+

=2-+=2

反思2：这两种合理分拆方法有什么共同的特征？