一元微积分在经济问题中的应用研究

[摘 要] 本文讨论一元微积分在商品生产与销售经济问题中的应用,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。

[关键词] 一元微积分 经济问题 应用

近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。

一、微分在经济学中的应用

由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。

例1设某国的国民经济消费模型为。其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。当x=100.05时,问总消费是多少?

解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。

由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。

二、最值在经济学中的应用

在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题

1.最大利润问题

利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。

例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。

解由题意,成本函数为,于是,利润函数

,

令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。

2.最小成本问题

例3 已知某个企业的成本函数为:,

其中C――成本(单位:千元)q――产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。

解 平均可变成本,令,得。

又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。(千元/t),

即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t.

三、导数在经济学中的应用

导数概念在经济学中有两个重要的应用――边际分析和弹性分析。

1.边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率。当经济函数的自变量改变很小时,经济函数的边际函数是指它的导函数。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称为边际分析方法。

例4设某产品的需求函数为q=100-5p,求边际收益函数,以及q=20,50和70时的边际收益。

解 收入函数为R(q)=pq,式中的销售价格p需要从需求函数中反解出来,即,

于是收入函数为,边际收入函数为,

由所得结果可知,当销售量即需求量为20个单位时,再增加销售可使收益增加;当销售量为50个单位时,再增加销售收益不会增加;当销售量为70个单位时,再增加销售收益反而会减少。

2.弹性分析

弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。弹性是衡量买者与卖者对市场条件变动反应大小的指标,亦即是衡量需求量或供给量对某种决定因素的反应程度的指标。需求弹性是衡量一种物品需求量对其价格变动反应程度的指标,是需求函数的相对改变量与自变量相对改变量比值的极限。

例5设某商品的需求函数为,求价格为100时的需求弹性。

解 需求弹性,其结果表示:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%.即需求变动的幅度大于价格变动的幅度,且变动的方向相反。这时价格上涨总收益减少,价格下跌总收益增加。

四、积分在经济学中的应用

1.不定积分的应用

例6已知某产品的边际收益,求该产品的收益函数.

解 收益函数为边际收益的不定积分.

在实际问题中,人们认为当销售量为零时,收益也为零,即R(0)=0.由此可以确定C=0.于是收益函数为

.

2.定积分的应用

(1)在经济管理中,已知边际函数,求总量函数或某一区间上的总量问题,可利用定积分计算

例7已知某种产品的边际成本为(元/个).

①若固定成本C(0)=7.5(元),求总成本函数。

②求产量从10到15个时总成本的增加量。

解

(元).

(元).

(2)当已知函数的变化率,要求该函数在某一区间上的改变量,也可用定积分计算

例8已知生产某产品q个单位时收益R的变化率是q的函数.

①求生产前200个单位时的收益。

②求产量从300个单位到500个单位时收益的增加量。

解 (元)

(元)

参考文献:

[1]李汝全:高等数学[M].北京: 北京工业大学出版社,2004,9

[2]李兰军:概率统计在经济问题中的应用研究[J].商场现代化, 2008年10月(下旬刊)

[3](美)曼昆著 梁小明译:经济学原理[M].北京:北京大学出版社,2006,8