一种基于二阶统计量的线性系统盲辨识方法

摘要:盲信号处理是指在没有任何先验知识可以利用的情况下,仅从观测信号矢量出发,寻找估计混合系统和源信号的一种方法。当前,大多数研究都是针对线性混合模型进行的,基于不同理论提出了许多行之有效的方法。文章提出了一种基于二阶统计量的盲辨识方法,该方法不必估计源信号的高斯性,仅利用样本数据的二阶统计量和源信号的时序结构来实现信号的盲分离。仿真实验表明,这种方法不仅能给出较好的分离结果,并且原理简单,计算量小,是一种好的分离方法。

关键词:盲辨识;二阶统计量;线性系统;特征值分解;分离方法

中图分类号:TN911文献标识码:A文章编号:1009-2374(2010)01-0020-03

盲信号处理(Blind Signal Processing,BSP)是近十几年间发展起来的一个研究热点,已经在生物医学信号处理、天线通讯、阵列信号处理、图像恢复等诸多方面显示出了巨大的应用潜力。BSP的提出为信号处理领域指出了新的研究方向和问题解决思路。根据目的不同,盲信号处理又可称为盲源分离、盲信号提取或系统盲辨识等。线性混合模型和卷积混合模型是盲信号处理问题中的基本模型,围绕着这两个基本模型,研究人员基于不同理论提出了许多行之有效的解决办法。当前的大多数研究都是针对线性混合模型进行的,常用的算法有FastICA、最大似然估计方法等。

多数求解线性混合模型的盲源分离算法都假设源信号是相互统计独立的,但是实际中的信号并不严格地满足这个假设条件,这就使一些算法的效果打了折扣。另外,相互独立意味着高阶不相关,这往往会涉及到复杂的高阶累计量的计算。并且,这些基于高阶累计量的算法,如FastICA,是不稳定的甚至有时会得出错误的分离结果,这种不稳定的缺点是由牛顿类优化算法自身具有的不稳定性所决定的。但是,如果信号具有时序结构,就可以降低对独立性的要求,采取基于二阶统计量(Second Order Statistic,SOS)的方法进行分离,一般称这种利用信号时序结构的盲信号处理方法为半盲信号处理。

本文详细分析了基于二阶统计量的盲辨识方法的算法原理及实现过程,利用仿真实验验证了这种算法的效果并与FastICA算法进行比较。

一、线性系统模型

在盲信号处理问题中,多数情况考虑的是线性混合模型:

x(k)=Hs(k)+v(k) (1)

式中:x(k)=[x1(k),x2(k),…xm(k)]是m维的观测矢量;s(k)=[s(k)1,s(k)2,…sn(k)]是未知的n维源信号,通常m≥n;H∈Rm×n是未知的列满秩混合矩阵;v(k)是m维的加性噪声。

混合信号的盲分离,是指在没有任何先验知识可以利用的情况下,仅从观测矢量x(k)出发,估计混合矩阵H或分离矩阵W以及源矢量s(k)。用公式表示为:

(2)

其中:n维信y(k)=[y1(k),y2(k),…ym(k)]是源信号s(k)的估计;是分离矩阵,又称为估计的混合矩阵的逆。

图1是盲信号处理的基本原理图,其问题的核心在于估计分离矩阵W。

在缺乏先验知识的条件下,盲信号处理中的两个不确定性,即:缩放比例和排列顺序的不确定性无法解决。但是,如果混合矩阵的估计满足,其中G是将混合和分离系统组合起来的全局变换,P是某个置换矩阵,D是非奇异的对角阵,那么可以说和(H,s)之间具有波形保持关系,而这种波形保持关系正是盲信号处理想要达到的目标。

二、算法原理及步骤

由于没有任何先验知识可以利用,因此对混合信号处理前需要提出以下基本假设:

1.混合矩阵H列满秩。

2.源信号在空间上是不相关的,有不同的自相关函数,但是时间上是相关的零均值的随机信号。

3.源信号是平稳信号和/或是方差时变意义上的二阶平稳信号。

4.加性噪声v(k)独立于源信号,它们可以是空间相关但是时间上不相关的白噪声。

基于上述假设,检查零均值的观测矢量x(k)的相关矩阵对于某个非零的时间延迟p是否满足:

Rx(0)=E{x(k)xT(k)}=HRs(0)HT+Rv(0)(3)

Rx(p)=E{x(k)xT(k-p)}=HRs(p)HT(4)

由源信号的时间相关性质,可以得出相关矩阵Rs(0)=E{s(k)sT(k)}和Rs(p)=E{s(k)sT(k-p)}都是非零元素不同的对角阵。

在混合信号数目大于源信号数目(即m>n)的情况下,噪声的协方差阵有特殊的形式:

(5)

在信噪比相对较高的情况下,噪声的方差v2可以从Rx(0)的最小奇异值(或Rx(0)最小个奇异值的平均)进行估计。无偏的协方差阵Rx(0)估计为:

(6)

为了估计混合矩阵H的比例和置换形式,按照式(4)和式(6),对两个协方差矩阵 和 进行同步对角化。

首先,估计去偏置的协方差阵:

(7)

它的特征值分解为:

(8)

利用线性变换对x(k)进行白化处理:

(9)

其中。因此可得到:

(10)

(11)

然后,将正交变换应用于将矩阵对角化。的特征值分解形式是:

(12)

同时,基于式(4)和式(11),得到:

(13)

如果对角矩阵有不同的特征值,那么混合矩阵可以估计为

(14)

至此,混合矩阵的估计形式已推导完毕。

由算法原理可知,该方法只需要经过两次相关矩阵的特征值分解,便可得到混合矩阵的估计。相对于FastICA方法,该方法无需对信号做迭代处理,计算量相对较小。

根据算法的原理,我们可以得到以下基于二阶累计量的盲辨识处理步骤:

(1)混合信号经过中心化处理,令其均值为零;

(2)利用公式(5)-(7)估计相关矩阵 ,在假设混合信号无噪声的情况下,相关矩阵可以简单估计为:

(15)

(3)计算 的特征值分解:

(16)

其中m×n维矩阵Vs=[v1,v2,…,vn]是与n个按下降顺序排列的主特征值相对应的特征矢量。m×(m-n)维矩阵VN包含(m-n)个特征值 对应的噪声特征矢量,并且 白噪声的方差估计成(m-n)个不重要特征值的均值。

(4)进行稳健的预白化变换:

(17)

其中:。

(5)对于给定的时滞p≠0(典型地,p=1给出最好结果),估计矢量的协方差矩阵,并进行协方差矩阵的奇异值分解:

(18)

(6)检查对角阵Σx所有的奇异值是否不同,如果相同,取不同的时滞p重复步骤(4);如果奇异值是不同的,且彼此远离,则混合矩阵估计为:

(19)

(7)源信号的估计为:

(20)

三、仿真实验

基于累积量的算法需要对相关矩阵进行特征值分解,利用特征值能够容易掌握信号中的有用成分数目,从而可以进行数据去冗余,基于此目的建立以下仿真模型。

仿真实验采用Matlab语言生成的3路源信号,分别为:s1:以正弦信号形式来模拟轴转动对振动信号的调制作用;s2:故障轴承缺陷部位所产生的冲击振动信号;s3:高斯分布的白噪声。其中s2是引用文献[8]中产生的仿真信号,s1和s3的Matlab代码为:

s1=3*cos(2*pi*(200/(32768*3))*t+0.275*pi);

s3=10*random('norm',0,1,[1,N]);高斯分布白噪声。

混合系统是随机生成的维矩阵,3路源信号经过混合后生成4路混合信号,源信号和混合信号的图形分别如图2和图3所示:

取时滞p=1,让混合信号经过基于二阶累积量的分离算法,得到如图4所示的分离效果:

从图中可以看出,该算法成功地从冗余数据中分离出了源信号。

四、结论

在盲源分离的各种算法中,基于二阶统计量的算法比基于统计理论或信息论的算法有一定的优势,其最显著的特点在于不必推断源信号的概率分布情况和相应的非线性函数,仅利用样本数据的不同时滞的相关矩阵和源信号的时序结构特征来实现混合信号的分离,从而使计算量减少。仿真实验中,该算法成功分离出了源信号。

但是,该方法不足之处在于它不能够对信号做实时处理,即它不能跟踪信号的时间变化特性。考虑到这一点,一种思路是将不断更新的时间序列分成不同的时间段,对每一个时间段分别做处理可能会得到更好的效果。事实上,基于二阶累积量的算法可以作为其它更为复杂的算法的一个有效的处理步骤,在处理较复杂的混合模型时可以改善算法的收敛特性。

参考文献

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[8]D Ho and R B Randall.Optimization of bearing diagnostic techniques using simulated and actual bearing fault signal[J].Mechanical systems and signal processing,2000,14(5).

作者简介:秦亮(1985-),男,河南三门峡人,第二炮兵工程学院硕士研究生,研究方向:信号处理与故障诊断。