具有比率的Holling Ⅲ类功能性反应函数的捕食者-食饵征税模型分析

摘要: 探讨了一类基于比率Holling Ⅲ类功能性反应函数的捕食者-食饵征税模型,得到了该系统正平衡点的存在性,局部渐近稳定性和稳定性条件,并利用Pontrjagin最大值原理得到了最优税收策略.为资源管理者制定合理的资源管理政策提供了理论依据.

关键词: Holling Ⅲ类功能性反应;基于比率;捕食者-食饵;全局渐近稳定性;最优税收

中图分类号:O175

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)03-0177-04

Analysis of a Holling Ⅲ Functional Response of the Ratio-Dependent

PreyPredator Model with Taxation

JIA Chunying, GAO Jianguo

(Department of Information and Computation Science, The North University for Nationalities, Yinchuan 750021, China)

Abstract:

A Holling Ⅲ functional response of the ratiodependent model with taxation is discussed. The existence of positive equilibrium of the system is proved and the local and global stability is investigated. An optimal taxation policy is obtained by Pontryagin′s maximum principle.

Key words:

Holling Ⅲ functional response; ratiodependence; predator; prey; global asymptotic stability; optimal

捕食者-食饵模型是数学生态学模型研究中的一个非常重要的课题.对基于比率的Holling-Tanner系统已有一些研究成果［1］.对生物模型的研究是为了更好地保护生物自然资源，并对其进行合理的开发和利用.因此,为了能够长时期地利用更新资源（如渔业,森林）,对其合理的开发和科学的管理是必要的.人们正不断地寻找更加可靠的可持续发展策略保护生物种群.一种有效的办法是对开发的种群进行征税,文献［2］研究了一类单种群模型,文献［3］研究了捕食者的功能反应函数为Holling Ⅲ类型的食饵-捕食者2种群相互作用模型.文献［4］研究了一类基于比率Holling Ⅱ类功能性反应捕食者-食饵征税模型捕食者的功能反应函数：

其中x,y分别表示食饵种群和捕食者种群的密度,r,s,K,h,m,A,q,E,α,p,τ,c均为正常数,r和s分别为食饵种群和捕食者种群的内禀增长率，K为食饵种群的环境容纳量,假如捕食者种群的环境容纳量与食饵种群的丰富程度成正比,即捕食者种群的环境容纳量K′=x/h,其中h为食饵种群转化为捕食者种群的转化系数,mx2/(Ay2+x2)表示捕食者的功能性反应函数,为了对资源进行一定的保护，对捕获的种群资源x征一定的税,设单位资源x的税收为τ，E［(p－τ)qx－c］表示捕获者所捕获的纯经济收入,其中q表示捕获能力，p表示单位资源x的价格,c表示单位努力量的成本，E表示对食饵种群的捕获努力量，α为比例系数，关

1 正平衡点分析

捕获的情况下，为保证2种群能够维持生存，我们只考虑正非平凡平衡点.

求解系统(2)的平衡点，可得当

rq>rcK(p－τ)q2+mhq(A+h2) (3)

时,系统(2)存在唯一正平衡点,p*(x*,y*,E*),其中

x*=c(p－τ)q,y*=c(p－τ)qh,

E*=rq－rcK(p－τ)q2－mhq(A+h2).

定理1 假设(3)成立,则当(2A－mh)(A－h2)>0时,系统(2)正平衡点P*(x*,y*,E*)局部渐近稳定.

证明 系统(2)在正平衡点P*(x*,y*,E*)处的雅克比矩阵为：

J(P*)=－rKx*－mh(2A－mh)y*4(Ay*2+x*2)2－m(A－h2)x*2y*2(Ay*2+x*2)2－qx*

hsy*2x*2－s0

αq(p－τ)E*00

J(P*)的特征方程为

λ(λ+s)(λ+M)+q2α(p－τ)x*E*(λ+s)+Nλ=0

其中 M=rKx*+mh(2A－mh)y*4(Ay*2+x*2)2，

N=hsy*2x*2m(A－h2)x*2y*2(Ay*2+y*2)2=mhs(A－h2)y*4(Ay*2+x*2)2.

整理得 λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中

a1=M+s,

a2=Ms+N+αcqE*,

a3=αcqsE*.

a1a2－a3=(M+s)(Ms+N+αcqE*)－αcqsE*=(M+s)(Ms+N)+MαcqE*,

当M>0,N>0时,a1a2－a3＞0,即(2A－mh)(A－h2)>0时,a1>0,a1a2－a3>0,由Hurwitz判别法［6］知,正平衡点P*(x*,y*,E*)局部渐近稳定.

定理2 假设(3)成立，当(i) x*>x>0时，平衡点P*(x*,y*,E*)为稳定的.(ii) x>x*时，且满足xAy2+x2>L,平衡点P*(x*,y*,E*)也为稳定的.则在第1象限内,平衡点P*(x*,y*,E*)的吸引域为x,yxAy2+x2>L.

其中 L=(x-x*)y*｛Kmx*y*+r(x-x*)(Ay*2+x*2)｝Km(Ay*2+x*2)［(x-x*)2y*2+(y-y*)2x*］.

［(x-x*)2y*2+(y-y*)x*］L时,dVdtx>0时,在第1象限内直线x=x*左侧区域,平衡点P*(x*,y*,E*)为稳定的.(ii)当x*>x时,且满足(3)式,在第1象限内曲线xAy2+x2=L上侧的区域,平衡点P*(x*,y*,E*)也为稳定的.则在第1象限内,平衡点P*(x*,y*,E*)的吸引域为(x,y)xAy2+x2>L.

2 最优税收策略

社会收入的贴现值为：

J=∫∞0e－δt(pqx－c)Edt，

其中δ为贴现率，e－δt为贴现因子.我们的目标是确定一个税收策略τ=τ(t),使得J在满足状态方程(2)和控制约束条件τmin≤τ≤τmax时取得最大值.此控制问题的Hamilton函数为

H=e－δt(pqx－c)E+λ1［rx(1－rK)－mx2Ay2+x2y－qEx］+λ2{y［s(1－hyx)］}+λ3{αE［(p－τ)qx－c］}，其中λ1,λ2,λ3为伴随变量［7］，假设Hamilton函数不会在τ=τmin或者τ=τmax取得最大值，从而可得奇异控制［7］.

根据Pontryagin最大值原理有，Hτ=0,dλ1dt=－Hx,dλ2dt=－Hy,dλ3dt=－HE.

经运算可得

Hτ=λ3(－αqx)E=0λ3=0,

-Hx=λ1t=－{e－δtpqE+λ1［r－2rKx－2mAxy3(Ay2+x2)2－qE］+λ1hsy2x2},(4)

-Hy=λ2t=－［λ1mx2(x2－Ay2)(Ay2+x2)2+λ2(s－2shyx)］,(5)

-HE=λ3t=－［e－δt(pqx－c)－λ1qx］=0，(6)

由(6)得

λ1(t)=e－δt(p－cqx),(7)

利用正平衡点所满足的状态方程，从(5)可得

dλ2dt－sλ2=－A1e－δt,(8)

其中 A1=(p-cqx*)mx*2(x*2-Ay*2)(Ay*2+x*2)2.

线性微分方程(8)的解为

λ2(t)=A1δ+se－δt.

同理,从(4)可得

dλ1dt－A2λ1=－A3e－δt,(9)

其中 A2=rKx*+mh(2A-mh)y*4(Ay*2+x*2)2.

A3=pqE*+A1δ+shsy*2x*2.

方程(9)的解为

λ1(t)=A3A2+δe－δt,(10)

将(7)代入(10)得

p－cqx*=A3A2+δ .(11)

将x*,y*,E*的值代入(11)可得到1个关于τ的方程,此方程的解(如果存在的话)用τδ表示,再将τδ代入x*,y*,E*,可得到最优平衡解(x=xδ,y=yδ,E=Eδ).

3 结语

本文对一类基于比率的Holling Ⅲ功能性反应函数的捕食者食饵模型进行了分析,得到了平衡点局部稳定和全局渐近稳定的条件,并得到了使社会收入贴现值最大的税收值,可以为资源管理者制定合理的资源管理政策提供理论依据.

参考文献:

［1］高建国.基于比率的Holling-Tanner系统全局渐近稳定性［J］.生物数学学报,2005,20(2):165-168.

［2］GANGULY S, CHAUDHURI K S. Regulation of asingle-species fishery by taxation［J］. Ecological Modelling,1995,82(1):51-60.

［3］PRADHAN T, CHAUDHURI K S. A dynamic reation model of a two-species fishery with taxation as a control instrument: a capital theoretic analysis［J］. Ecological Modelling,1999,121(1):1-16.

［4］张睿.具有比率依赖型功能反应函数的食饵-捕食者征税模型分析［J］.生物数学学报,2008,23(3):484-488.

［5］KAR T K. Conservation of a fishery through optimal taxation: a dynamic reaction model［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2005,10(2): 121-131.

［6］马知恩,周义仓.常微分方程稳定性与稳定性方法［M］.北京:科学出版社,2001.

［7］CLARK C W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Menagement of Renewable Resources［M］. New York: John Whiley, 1976.