基于MSC Nastran的离散变量优化算法的实现

摘要：实际工程中存在大量的离散变量优化问题，基于msc nastran优化框架实现新的离散变量算法，有利于新算法本身的推广应用和解决大规模的实际复杂工程问题.通过修改MSC Nastran输入文件的方法实现离散变量的优化算法——GSFP算法.GSFP是基于广义形函数的离散变量优化算法，它将离散变量优化问题转化成连续变量优化问题，通过惩罚等措施使得最优设计结果最终收敛到离散解，该方法能够解决大规模的实际离散变量优化问题.最后以桁架截面选型优化为应用背景，给出GSFP算法实现的基本原理和方法.

关键词：离散变量； 结构优化； GSFP； MSC Nastran

中图分类号：TU378.6； TB115.1文献标志码：B

0引言

离散变量优化问题在实际工程问题中广泛存在.如钢框架结构需要根据国家设计规范进行设计，所选择的结构件均为标准型钢，同时型钢对应的截面尺寸大多在结构设计规范中选取，尺寸往往不连续.因此，相比连续变量优化问题，离散变量优化问题的难度大幅增加.[1]

离散变量优化问题最基本的特点是设计变量的可行域不是充满约束条件的整个空间，而是分布在其中的一些孤立点，这些孤立点组成的集合称为可行集.设计变量在可行集中的不连续性，导致目标函数的不连续性，同时也导致问题的非凸性.因此，连续变量的优化方法不能直接应用于离散变量优化问题.离散变量优化问题的本质是一种组合规划问题，可以通过枚举方法求解.当设计变量较多时，枚举法将会因为计算规模的组合爆炸效应成为不可能.如有10个设计变量，每个设计变量有10种可选截面，将有1010种可选方案，若每种方案需要0.1 s的分析时间，则需要30多年才能计算完.因此，发展高效的求解方法成为重要的研究课题.

针对离散变量优化问题，已发展多种求解算法，这些算法大致可以分为精确算法和近似算法2类[2-3].精确算法主要包括分支界定法和割平面法等，其中，分支界定法是该类方法中应用最广的方法之一.分支界定法首先求解连续变量的线性规划问题，然后对最优解中未取得离散值的变量进行分支，形成一系列节点，再重复求解连续变量的线性规划问题，直到所有变量都取得离散值.该方法最大的优点是，针对凸问题能够确保收敛到最优解.然而，分支界定法采用组合优化的思想，需要求解很多个连续变量的优化问题，当设计变量较多时，求解效率大大下降，因此，该方法虽然可以求得全局最优解，但通常只能针对小规模问题的求解.

由于获得优化问题的精确解非常困难，目前主要研究工作集中于能够获得近似最优解，其中，应用最广泛的是启发式算法，如遗传算法、进化算法、模拟退火方法和蚁群算法等.该类方法相对于精确算法，具有求解大规模问题的能力，有可能寻求全局最优解，并且优化过程不需要目标函数和约束的敏度信息，方法实现较为简单.由于这类算法的本质仍是排列组合，计算规模随着设计变量的增加仍呈指数形式增长，当设计变量个数略有增加，计算规模剧烈增加.该类方法不适合计算大规模的离散变量优化问题.

为求解大规模计算问题，需要借用连续求解方法进行求解，其中，计算最简单、费用最低的是后处理圆整法[4].首先，修改优化问题的提法，将离散变量连续化，采用连续变量优化求解方法求解，获得最优解；其次，将最优解进行圆整，使最终设计结果趋向于离散值.该种方法目前应用最广泛，MSC Nastran就采用该方法进行求解.该方法的最大缺点是后处理圆整后的结果有可能会偏离最优设计，或者违反设计约束条件.特别是设计变量个数较多时，偏离程度可能会更大.

另一类方法是修改优化问题的提法，使得修改后的优化模型能够采用已有的连续变量优化方法求解，并借助于惩罚等其他辅助手段使优化结果收敛到离散值.如DMO方法[5-6]和GSFP方法[7]等.该方法的优点是，能用基于梯度的优化算法求解，且收敛性好，可以完全收敛到离散值或仅有少量变量未收敛到离散值，圆整后偏离最优解的程度会大幅减少.

本文研究的目标是基于MSC Nastran优化框架，实现新的离散变量优化算法——GSFP方法.首先介绍GSFP方法基本思想，其次以三杆桁架的离散变量优化为例，详细介绍GSFP方法的实现过程，最后给出利用GSFP方法的计算结果和软件计算结果的对比.

1GSFP方法介绍

为方便离散变量，可选择集参数化的描述，定义2个集合（列表），即“可取集”和“可选择集”.“可取集”表示候选材料的集合，也就是给定的已知材料集合；“可选择集”是由“可取集”中的元素按照一定的顺序规则进行排列所形成的新集合.设计变量的值将从“可选择集”中进行选取.

4结论

基于MSC Nastran优化框架，实现新的离散变量优化算法——GSFP方法，研究表明

（1）GSFP方法能够在MSC Nastran优化框架内实现，方便该方法本身的推广应用和解决大规模的实际复杂工程问题.

（2）基于MSC Nastran的GSFP方法能够实现离散变量的桁架优化并且能够得到较好的优化结果.

参考文献：

[1]孙焕纯， 柴山， 王跃方. 离散变量结构优化设计[M]. 大连： 大连理工大学出版社， 1995.

[2]ARORA J S， HUANG M W， HSIEH C C. Method for optimization of nolinear problems with discrete variables： a review[J]. Structural Optimization， 1994， 8（2-3）： 69-85.

[3]谭涛. 离散变量优化设计的连续化方法研究[D]. 大连： 大连理工大学， 2006.

[4]YU Xiaoming， ZHANG Shenghua， JOHNSON E. A discrete post-processing method for structural optimization[J]. Engineering with Computers， 2003， 19（2-3）： 213-220.

[5]STEGMANN J， LUND E. Discrete material optimization of general composite shell structures[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2005， 62（14）： 2009-2027.

[6]LUND E， STEGMANN J. On structural optimization of composite shell structures using a discrete constitutive parametrization[J]. Wind Energy， 2005， 8（1）： 109-124.

[7]ZHANG Yongcun， HOU Yupin， LIU Shutian. A new method for discrete optimum design of truss structures[C]//The Seventh China-Japan-Korea Joint Symposium on Optimization of Structural and Mechanical Systems， Huangshan， 2010.

[8]李增刚. MSC Nastran快速入门与实例[M]. 北京： 国防工业出版社， 2007.

[9]万力， 黄丹. 有限元法与MSC Nastran软件的工程应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2006.

[10]杨剑. 新编MSC Nastran有限元实例教程[M]. 北京： 机械工业出版社， 2008.（编辑陈锋杰）