关于新命题能力培养的探索

观察、类比、归纳、猜想、验证是学生获得新知识的重要方法，也是学生应具备的分析问题和解决问题的能力.因此，教学中要注意培养学生的这种能力，创设“问题情境”，激发求知欲，引导学生通过自己实践而获得新知识，从而培养能力，发展智力.本文试图通过例题来谈谈教学中如何引导学生自觉掌握这种方法.

一、利用归纳、猜想、发现新命题

例1.点C在线段AB上，ACM、CBN都是等边三角形（如图1）.

求证：AN=BM.

若点C移到线段外，则仍有类似的结论.

命题1.1：锐角ABC向外作正三角形ACM和BCN（如图2），则AN=BM.

命题1.2：锐角ABC向外作正方形ABDE和ACFG，则BG=CE.

根据命题1.1，1.2，我们归纳其共性，猜想若由锐角三角形向外作正五边形，正六边形，……正n边形，仍有类似的结论成立.

命题1.3：锐角三角形向外作正n边形ACCC…C，ABBB…B，则BC=CB.

二、利用观察、猜想发现新命题

例2.用数学归纳法证明：

（1）1+2+3+…+n=n（n+1）；

（2）1•2+2•3+3•4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；

（3）1•2•3+2•3•4+3•4•5+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）.

观察（1）（2）（3）式的左边分别是1个，2个和3个连续自然数的积的数列的前n项和，右边是从n起分别为2个、3个、4个连续自然数之积再分别除以2，3，4，那么，对于4个连续自然数之积的数列，其前n项的和是否也具有这样类似的结论呢？由此，我们作了如下猜想：

命题2.1：设给出数列{a}，a=n（n+1）（n+2）（n+3），则此数列的前n项和为k（k+1）（k+2）（k+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），这里我们还可以更一般地猜想：

命题2.2：以p+1（p∈N）个连续自然数之积为通项的数列，其前n项和的公式：设数列{a}的通项公式为：a=n（n+1）（n+2）（n+3）…（n+p），其中p∈N，则数列前n项和是k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+p）=n（n+1）…（n+p+1）.

三、利用类比猜想发现新命题

例3.从椭圆+=1的中心作三条每相邻两条成120°角的向径OP，OP，OP，求证：++为定值.

这里条件中“三条每相邻成120°的向径”与“四条每相邻两条成90°的向径”类比，均为每相邻两条成等角向径，从例3的启示，“过中心的四条每相邻成两条成90°的向径”是否有类似的性质呢？由此猜想：

命题3.1：从椭圆+=1的中心作四条相邻两条成90°的向径OP，OP，OP，OP，则+++为定值.

一般地作几条向径每相邻两条成等角猜想仍有类似的结论.

命题3.2：从椭圆+=1的中心作几条每相邻两条成的向径OP，OP，…OP，则++…+为定值.

四、从证法方面进行观察、类比、验证

我们通过观察、类比、归纳发现的命题只不过是猜想，是否正确，还需要进行论证.

命题1.1很容易从BCM≌ACN而证明，命题1.2和命题1.3方法类似.

命题2.1和命题2.2的证法，从例2得到启示，可以用数学归纳法证得.

命题3.1的证法可先看例3的证法.

证明：设取中心O为极点，Ox轴的正向为极轴，则椭圆+=1的极坐标方程为ρ=

P的极坐标为（ρ，θ）

则P，P分别为（ρ，θ+120°），（ρ，θ+240°）

因而OP=ρ=，OP=ρ=

OP=ρ=

++

=［1-ecosθ+1-ecos（θ+120°）+1-ecos（θ+240°）］

=［3-ecosθ+ecosθ-e］

=（+）=（定值）

命题3.1，3.2的证法与例3法相同，现将命题3.2的证法写出如下：以椭圆+=1的中心为极点Ox轴的正向为极轴的极坐标方程为：

ρ=且设P坐标为（ρ，θ）那么P（ρ，θ+），P（ρ，θ+），…，P（ρ，θ+）

OP=ρ=，OP=ρ=，…，

OP=ρ=

++…+

={n-ecosθ-ecos（θ+）…-ecos［θ+］}

={n-e-e［cos2θ+cos（2θ+）

+cos（2θ+）+…+cos（2θ+360°］}

=［n-e-e×0］=（+）=（定值）

对一些习题，通过观察、类比、归纳、猜想、验证，可以把问题引向深入，纵横联系得到推广，从而避免陷于“题海之中”，通过这方面的练习，能达到举一反三、触类旁通的解题效果，真正达到提高学生分析问题、解决问题能力的目的.