浙江省高考数学(理)第18题评卷及启示

笔者非常荣幸参加了2016年浙江省高考理科第18题的阅卷工作.本文拟结合笔者的阅卷经历简要叙述本题的阅卷情况和自己有感而发的教学思考，供读者参考.

试题已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p，p≤q，

q，p>q.

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.

（Ⅱ）（。┣F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）.

按照命题组事先设计试题的意图，此题作为简单题第三题，不刻意增加试题的难度，是一道上手快、得分易的基本题（命题组原计划将此题设计成两空的填空题），重点考查函数基本思想和方法.从阅卷的实际情况看，试题难度预计有一定偏差，但具有良好的区分度，全省平均分为546，32%的学生得1分或0分，9%的学生13分及以上.下面我们首先简要介绍试题的常见解法和学生的典型错误.1试题的常见解法及典型错误

1.1第（Ⅰ）题的解法与典型错误展示

1.1.1第（Ⅰ）题的正确解法

正确解法1此问首先需将问题等价转化为：求解关于x的不等式2|x-1|≥x2-2ax

+4a-2（a≥3）.下面通过讨论去掉绝对值符号转化为常规的一元二次不等式：

①当x≥1时，不等式等价于2x-2≥x2-2ax+4a-2x2-（2+2a）x+4a≤0（x-2）（x-2a）≤0

2≤x≤2a（a≥3），故此时x的取值范围为[2，2a].

②当x

故h（x）在（-∞，1）上单调递减，故当xh（1）=2a-1>0，从而不等式x2+（2-2a）x+4a-4≤0在

（-∞，1）上无解.【说明：当x

+（2a-2）（2-x）>0也能说明不等式无解】.综合上述，使得等式

F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2，2a].

正确解法2由于F（x）的草图如图2所示，我们先求出方程x2-2ax+4a-2=

2（x-1）的根x1=2，x2=2a.考虑到当x≤2时，x2-2ax+4a-2≥2|x-1|，故从图中可知，不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2（a≥3）的解集为[2，2a].

1.1.2第（Ⅰ）题的典型错误

典型错误1（参数分离法根深蒂固）由于不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2等价于

a（4-2x）≤-x2+2|x-1|+2.显然x=2不等式成立，当x≠2时，不等式等价于

x>2，

a≥-x2+2|x-1|+24-2x，或者x

a≤-x2+2|x-1|+24-2x，再将问题错误转化为上述不等式对任意的a≥3恒成立.

与上述错误解法大相径庭的另一种解法为：将不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2中的绝对值通过x≥1，x

典型错误2（讨论对象错误）求解过程中通过讨论实数a的范围来求最值，不理解产生分类讨论的原因和目的.

典型错误3（图像绘制不正确）在图2中忽视点B的存在而导致产生错误结果[2，+∞）.

典型错误4（用十字交叉法求解一元二次方程的根比较生疏）不少学生对于一元二次不等式x2-（2+2a）x+4a≤0求解时求二次方程的根x1=2，x2=2a或用求根公式求，或无法正确求解，对十字交叉法比较生疏.

典型错误5（不善于借助图像直观分析二次方程根的位置）当求解一元二次不等式x2+（2-2a）x+4a-4≤0时，毫无顾忌地直接利用求根公式x=2a-2±（2-2a）2-4（4a-4）2

=a-1±（a-1）（a-5），从而盲目地认为不等式的解集为[a-1-（a-1）（a-5），a-1+（a-1）（a-5）]，

殊不知一元二次方程x2+（2-2a）x+4a-4=0的根是否存在（比如3≤a0来简要说明不等式无解.

1.2第（Ⅱ）题解法和典型错误展示

1.21第（Ⅱ）题（。┪实恼确解法

正确解法1（利用min{min{p（x），q（x）}}=min{p（x）min，q（x）min}求解）设f（x）=2|x-1|，

g（x）=x2-2ax+4a-2，则m（a）=F（x）min=min{min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}}=min{min{f（x），g（x）}}

=min{f（x）min，g（x）min}.由于f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=-a2+4a-2，从而

m（a）=min{0，-a2+4a-2}=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a-2，a>2+2.

正确解法2（利用图像求解）由于F（x）的图像如图2所示（实线部分）.则m（a）=min{F（1），F（a）}=min{0，-a2+4a-2}=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a-2，a>2+2.

正确解法3（基于F（x）的单调性求解最小值）

由（Ⅰ）可知F（x）=f（x）=2|x-1|，x2a

g（x）=x2-2ax+4a-2，2≤x≤2a，从而F（x）在（-∞，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减，在[a，2a]上单调递增，在[2a，+∞）上单调递增.从而m（a）=min{F（1），F（a）}=min{0，-a2+4a-2}=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a-2，a>2+2.

1.22第（Ⅱ）题（）问的正确解法

正确解法1（利用图像求解）由于F（x）的图像如图2所示（实线部分），则从图像中可知M（a）=max{f（0），f（2），g（6）}=max{2，34-8a}=34-8a，3≤a

2，a≥4.

正确解法2（基于F（x）的单调性求解最大值）由于F（x）在（-∞，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增.下面我们考虑F（x）在[0，6]上的单调性.

①当3≤a

2，4

②当a>6时，F（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，在[2，6]上单调递减.

故M（a）=max{F（0），F（2）}=max{2，2}=2.

综合上述，M（a）=34-8a，3≤a

2，a≥4.

1.2.3第（Ⅱ）题的典型错误

典型错误1（审题马虎）将函数F（x）=f（x）=2|x-1|，x2a，

g（x）=x2-2ax+4a-2，2≤x≤2a，错误地写成F（x）=f（x）=2|x-1|，2≤x≤2a，

g（x）=x2-2ax+4a-2，x2a.

典型错误2（没有正确理解参数a的意义）很多学生都错误认为a也是变化的，因此在求得m（a）=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a-2，a>2+2.和M（a）=34-8a，3≤a

2，a≥4之后，再继续求解了m（a）的最小值（事实上不存在，学生直接写-∞）和M（a）的最大值10.

典型错误3（错误理解分段函数的最值）由于F（x）=2|x-1|，x2a，

x2-2ax+4a-2，2≤x≤2a.

当x2a时，F（x）min=F（1）=0；当2≤x≤2a时，由于a≥3，a∈[2，2a]，故

F（x）min=F（a）=-a2+4a-2.从而m（a）=0，x2a，

-a2+4a-2，2≤x≤2a.这种错误原因是没有理解m（a）是仅与a有关的函数，而跟x无关，因此分段函数中分段范围错误.

而对于求解M（a）的解析式，同样出现上述类似错误，得到错误结果M（a）=2，x2a，

34-8a，2≤x≤6.另外对于M（a）的求解还较多出现下列情形：对参数a定位错误，比如下列典型错误：由于a≥3，故F（x）=2|x-1|，0≤x

x2-2ax+4a-2，2≤x≤6.①当0≤x4时，F（x）max=F（2）=2.

故M（a）=2，a>4，

10，3≤a≤4.错误的原因也在于不理解分段函数的最值和参数a的意义.

典型错误4（照搬照抄类似于2015年浙江省高考二次函数试题的求解方法）由于

m（a）≤2|x-1|，m（a）≤x2-2ax+4a-2，则2・m（a）≤2|x-1|+（x2-2ax+4a-2）；

或者M（a）≥2|x-1|，M（a）≥x2-2ax+4a-2，则2・M（a）≥2|x-1|+（x2-2ax+4a-2）

之后就不知所云.

为了能让广大教师清楚了解我们在阅卷过程中执行的具体评分标准，下面笔者再介绍一下根据题组长指示笔者所领会的详细评分细则（当然不同的阅卷教师所领会的细则有所差异，题组长在试评和正评的初始阶段根据情况会及时个别指导和调整，差异一般不会很大，控制分差2分，倘若超过2分则进行三评或仲裁）.2试题的评分标准说明

评分细则按照以下原则确定：①尽力做到公平公正，保护最广大考生的利益；②保护真正理解并能正确求解问题的学生利益，注重过程和关键步骤，杜绝平均主义，要求有一定区分度；③适度保证阅卷的速度.具体的评分细则如下：

对于第（Ⅰ）题，分配分值为6分.主要踩分点为：①出现x≥1，x

对于第（Ⅱ）题第（。┪剩分配分值为5分.主要踩分点为：①出现m（a）=min{f（1），g（a）}

得3分；②结果m（a）=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a+2，a>2+2.正确得2分（不允许错误，否则0分）.需要补充说明的是：通过讨论单调性求解最小值的，单调性正确得3分，结果正确得2分；对于条理性不是很清晰的，评分标准为：同时出现f（1）=0，g（a）=-a2+4a+2得3分，只出现一者的得2分；对于在问题求解中a=3直接代入者，没有出现明显错误的，同样给予相应的分值（但一般不超过3分）.

对于第（Ⅱ）题第（）问，分配分值为4分.主要踩分点为：①出现M（a）=max{2，34-8a}得2分；②结果M（a）=34-8a，3≤a

2，a≥4正确得2分（不允许错误，否则0分）.补充说明的是：对于条理不清晰的，出现F（1）=F（0）=2，F（6）=34-8a一者或两者的得2分.2对教学的若干启示

通过本次阅卷，笔者感触很多，整理如下.

3.1注重核心概念的教学

数学核心概念是架构整个数学学科体系的基石，脱离了核心概念我们就很难理解数学，更不必来求解数学问题.就如同本题中涉及的分段函数的最小值和最大值，学生对概念的理解不到位，从而得出比较荒谬的结论；对参数a，到底在问题中它是常数还是变量，学生理解得模凌两可，从而导致在求解问题时似是而非.这些惨痛的教训都值得我们关注和深思.

2.1强化数形结合意识

数形结合是一种重要的数学思想，有助于将抽象的数学问题表征成适宜于自身理解的内在心理表征，从而容易理解问题的本质，进而来积极调动自身的认知结构.从评卷的过程中，我们发现：没有图像辅助的学生，一般求解的逻辑推理相对比较冗长，条理性不够明晰；而结合F（x）的图像（即图2）求解的学生，不仅过程简洁明了，而且基本能得到正确的结果.因此在教学中我们要深化用图意识，将画图和用图作为我们理解和解决数学问题时的自觉行为.例如下列的问题：已知函数f（x）=-x|x-a|+1（a∈R）.对于给定的正数a，存在与之相应的正数M（a），使得对任意的x∈[0，M（a）]，都有|f（x）|≤2.求正数M（a）.显然结合图3、图4，我们不仅容易理解问题，而且也能比较迅速地求解M（a）的解析式.

①当f（a2）=4-a2423时，M（a）为x2-ax+1=-2的小根，故M（a）=a-a2-122.

②当f（a2）=4-a24≥-2时，即0

从而M（a）=a+a2+122，0

a-a2-122，a>23.

在教学过程中我们可以多创设这样的问题情景，强化学生用图意识，引导学生用好图.当然这里需要强调一点的是，利用图像时也需要注重合理的逻辑推理，毕竟形象思维代替不了严谨的逻辑推理.

2.2理解分类讨论的合理性和必要性

在评卷中我们发现，不少学生意识到需要用分类讨论的思想求解问题，但是却对如何分类讨论表现得非常迷茫.这种现象需要我们一线教师引起重视.笔者认为，学生这种问题的出现关键在于缺乏对问题求解目标的正确认识.事实上，我们讨论的目标在于将复杂的问题进行分解成若干个细化且容易解决的问题，因此分类讨论还是要围绕问题解决，这就需要冷静思考和理解问题，思考将问题如何分解.例如问题：已知函数f（x）=x2-（x-1）|x-2|，

求函数y=f（x）在[0，m]（m>0）上的最大值h（m）的解析式.首先考虑到f（x）中含绝对值，我们首先思考将绝对值符号去掉.那如何去呢？一种想法是分x≥2，x

①当0

。┑34≤m2时，即32≤m≤2时，h（m）=f（m）=2m2-3m+2；

）当34>m2时，即0

②当m>2时，f（x）=x2-（x-1）（2-x）=2x2-3x+2（0≤x≤2），

x2-（x-1）（x-2）=3x-2（2f（2），故h（m）=f（m）=3m-2.

综合上述，h（m）=2，0

2m2-3m+2，32≤m≤2，

3m-2，m>2.

在教学中我们需要仔细剖析问题，让学生真正体验到问题的求解的确需要进行分类讨论，理解分类讨论的必要性，从而也就能理解如何分类了.在教学实践中我们可以多创设问题情景，例如可以将讨论的参数内置于绝对值符号内、绝对值符号外等不同的位置，思考在不同的情景下该如何分类讨论，让学生细细体会，获得发自内心的认同感.这样我们的教学才能深入人心.

3.4正确理解求解问题的方法

从阅卷的情况看，学生对于问题求解方法的认知有很多缺陷，特别是将方法进行机械式的模仿，而忽视对问题的理解.如同本题中的第（Ⅰ）问，很多学生完全没有理解a是事先给定大于等于3的常数，从而机械地采用“参数分离法”进行求解.这种情形的出现我们一线老师可谓“功不可没”，因为在教学中很多老师将这种方法作为求解含参函数问题的制胜法宝.我们老师为了贪图简便，避免讨论而过分在学生面前强调，学生自然走进了死胡同而无法自拔.因此教学中我们还是要正确引导学生理解问题，按照自己的思路和想法来谋划方法.俗话说得好，自然才是真.我们在教学中就需要探讨学生最容易思考的大众化的求解方法，而不担心求解过程的复杂.对于技巧性强的方法，我们不提倡也不反对，适可而止.

3.5合理规划解题步骤

从阅卷反馈的情况看，很多学生解题过程没有进行合理规划，导致在试卷中书写非常凌乱，这与我们平时教学在这方面不重视有直接关联.有些学生书写得很多，却答不到踩分要点上，或者将关键步骤埋没在“茫茫字海”中，评卷教师踩得分点如同废墟中寻宝，很是疲惫.事实上，数学解题应该注重简洁美观，在书写时只需保证简要说明求解方法、完整体现关键演算步骤、最后明确呈现求解问题的结果即可，其余无关痛痒的步骤可以在草稿纸中完成.这样既能展现美观的解答，提高阅卷教师踩分踩中的概率，也能大幅节省书写时间，为解决复杂问题腾出宝贵的时间.

总之，高考已经结束，学生的成败、悲喜也已成定局，而我们能做的是，反思我们曾经实施过的教学，吸取成功的经验，改进落后的教学方式和理念，精益求精，以崭新的姿态迎接我们可爱的新学生，为他们奉献出更完美的教学服务.