圆锥曲线有关最值问题

中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各章之中，因此，最值问题历来是各类考试的热点。最值问题有两个特点应引起重视：①一个最值问题常常覆盖多个知识点②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多不计算量大，能力要求高。常见方法如下：

1、回归定义

例1、已知椭圆+=1，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求|PA|+|PB|的最小值；

（1）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。

解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义=e=，|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。

（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|

|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)

根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=10+2；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10-2。

回归定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。

2、利用二次函数最值的求法

例2、在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。

解：设抛物线上的点P(t,4t2)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离d==当t=时，dmin=，故所求点为(,1)。

3、利用基本不等式

例5、已知椭圆+y2=1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：

（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。

解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤()2=4.

|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8

4、判别式法

例4、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。

解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么x1=y12，x2=y22 ①由题意，得32=(x2-x1)2+(y2-y1)2②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为x=③，将① ③ 代入② 整理得4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0 ④，y1y2为实数，故＝4-4×（32-4x2-2x）≥0又x>0得x≥⑤，x=当 时，＝０由④解得y1y2=-⑥，（y1+y2）2=y12+y22+2y1y2=2x-=2，可得y1+y2=⑦，由 ⑥，⑦可得y1，y2，由①即得相应的x1，x2。

故AB的中点M距y轴最短距离为x0=，且相应的中点坐标为(,)或(,-)。

5、运用函数的性质

例3、在ABC中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a,b,c，且c=10,==，P为ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。

解：由== sinAcosA-cosBsinA=0 sin2A=sin2B

=≠12A=π-2BABC为Rt由C=10，且= 知a=6 b=8

设ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则RtABC的内切圆M的方程为：(x-2)2+(y-2)2=4

设圆M上动点P（x,y）(0≤x≤4)，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为

=|PA|2+|PB|2+|Pc|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+y2+x2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2-4x+76＝88-4x

点P在内切圆M上，0≤x≤4，于是max=88-0=88 min=88-16=72

总之，最值问题是平面解析几何中的一个既典型又较综合的问题，圆锥曲线又是解析几何中的重要内容，它的最值问题求法比较多，具体问题应具体加以分析。

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