《认识概率》中蕴含的数学思想方法

数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用的过程之中. 《认识概率》一章是我们在小学初步感受概率的基础上，对概率进行系统学习和研究的起始章节. 本章中蕴含有一些基本的数学思想方法，这里作一简单介绍，以期能拓展同学们的视野，为进一步学习概率统计知识做好铺垫.

一、 感受“随机事件发生的可能性大小”

随机事件就是我们事先无法确定它会不会发生的事件. 一般地，随机事件发生的可能性有大有小. 我们把一个事件发生的可能性大小的数值称为这个事件的概率.

例1 （2013・福建福州）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别. 从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）.

A. 3个 B. 不足3个

C. 4个 D. 5个或5个以上

【分析】根据取到白球的可能性较大，可以判断出白球的数量大于红球的数量. 袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，袋中的白球数量大于红球数量4个，即袋中白球的个数可能是5个或5个以上.

【答案】D.

【说明】本题考查了可能性大小的比较：在总情况数目相同时，哪一种包含的情况数目多，哪一种的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等.

二、 掌握“枚举思想”

三、 领悟“方程思想”

方程思想是指解决数学问题时，先分析问题中的等量关系，设出未知数，建立方程或方程组，然后求解方程（组），使原问题获解. 这一思想方法在解概率题中应用广泛.

例3 一个不透明的袋中装有6 个白球和12个蓝球，它们除颜色外都相同.

（1） 求从袋中摸出一个球是白球的概率；

（2） 现从袋中取走若干个蓝球，并放入相同数量的白球. 搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个蓝球？

【分析】第（1）问根据简单概率的求解方法即可获解；第（2）问中，由于取走的篮球数和放入的白球数相同，即袋中总球数不变，可以根据“从袋中摸出一个球是白球的概率是”这一关系来建立方程求解.

【点评】本题中的第（2）问，通过列一元一次方程求解，体现了方程思想在概率解题中的重要作用.

四、 学会“用频率估计概率的思想”

在我们的实际生活中，能够直接计算求得概率的事件是有限的，在很多情况下要进行相应的试验，通过实验、观察、记录、分析，计算出相应的频率来估计概率. 在随机事件中，虽然每次实验的结果都是随机且无法预测的，但这些大量随机事件的发生并不是完全没有规律的，在一定的条件下，大量重复进行同一个实验时，随机事件A发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率的估计值，所以我们常用大量实验获得的频率来估计事件发生的概率，记作P（A），即P（A）=.

例4 （2013・江苏连云港）在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球. 其中说法正确的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

【分析】在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定在：1-20%-50%=30%，故此选项正确；摸出黑球的频率稳定在50%，大于其他频率，②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误. 故正确的有①②.

【答案】B.

【点评】此题主要考查了利用频率来估计概率，根据频率与概率的关系求解是解答本题的关键，体现了“用频率估计概率的思想方法”.

【说明】利用频率估计概率时，还必须明确以下几点：①事件发生的概率是一个确定值，而频率不是确定的，当实验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当实验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近；②通过实验用频率估计概率的大小时，必须保证实验是在相同条件下进行，否则结果会受到影响；③实验次数较少时，频率与概率的误差可能比较大，但也不是说实验次数多时，每次频率与概率的误差就一定比实验次数少时的误差小，这是随机事件本身的特点决定的；④当进行大量实验时，频率和概率可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差也是正常的，如随机地“抛掷一枚质地均匀的硬币”，理论上着地后“正面朝上”的概率为，但抛掷2 000次，并不能保证着地后恰好有1 000次“正面朝上”，但大量重复实验（如布丰、罗曼诺夫斯基等做的“抛掷质地均匀的硬币实验”）发现，硬币着地后“正面朝上”发生的频率就在附近波动.

五、 感悟“数形结合的思想”

“数”和“形”之间有着密切的联系，在一定条件下，可以相互转化，相互渗透. 根据研究问题的需要，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中，利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程，便体现了“数形结合的思想方法”.

例5 甲、乙两人制作了如图1所示的一个靶（把两个同心圆平均分成了6份）玩掷飞镖的游戏. 规定：当飞镖掷中黑色区域时，甲获胜，否则乙获胜（没有掷中靶或掷到边界线时重新投掷）. 你认为甲获胜的可能性大，还是乙获胜的可能性大？

【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.

【解答】根据题意，这个靶子是将“两个同心圆平均分成了6份”而制得，所以圆环部分分得的6块图形的面积相等，小圆内分得的6块小扇形的面积也相等. 所以可以将图形下方的三块黑色图形分别通过翻折变换到图形的上方（如图2，为了看得清，将翻折后得到的图形颜色变淡了）. 黑色区域的面积是整个图形面积的一半. 所以，飞镖掷中黑色区域的可能性为，掷中白色区域的可能性也为，甲、乙获胜的可能性一样.

【点评】本题借助图形面积使问题获解，体现了数形结合的思想，同时本题解答也渗透了“整体的数学思想”.

六、 体会“分类讨论的思想”

在解决一些稍复杂的概率问题，如问题中含有多种可能的情况时，往往需要考虑到各种情况对应的结果数，这就需要进行分类讨论.

【答案】.

【说明】分类讨论思想是重要的数学思想方法，分类时要求正确选择分类的标准，做到不重复不遗漏. 同时本题也渗透了“枚举思想”和“数形结合思想”等思想方法，考查了对平面直角坐标系的认识及对格点直角三角形的认识. 先找到所有等可能的结果（n种），然后根据格点性质找出符合条件的直角三角形（m种），最后求出所求事件的概率为. 同学们解答本题时容易误认为“能够构成三角形的总个数为25个”，也就是认为直线OB上的5个点也与点O、B构成三角形，从而导致错误.

（作者单位：江苏省常州市武进区嘉泽初级中学）