时间：2022-05-19 04:06:01
三角换元是以三角公式为依托，利用三角函数的性质实现解题的方法；合理的三角换元，能化繁为简、化难为易、化曲为直；本文以部分高考题、高中数学竞赛题为例，谈谈三角换元在数学解题中的应用，供高中师生教学时参考。
一、求最值
例1 求函数f（x）= + 的最大值和最小值。（2013年江西高中数学联赛题）
分析：此题考查的是形如y= + 的无理函数最值的求法，它是高中数学的一个难点内容，充分利用好三角换元，会使求解过程快捷。
解：因为3x-6≥0，3-x≥0，所以可求出函数f（x）= + 的定义域为[2，3]，从而可设x=2+sin2θ（0≤θ≤ ），故可设f（x）= + = + = sinθ+cosθ=2sin（θ+ ），而 ≤θ+ ≤ ，这时 ≤sin（θ+ ）≤1，所以1≤f（x）≤2，故此函数f（x）的最大值为2，最小值为1。
评注：解此题的关键是通过三角换元把无理函数转化为三角函数，试题别具特色，精致小巧，能较好地考查学生的数学思维水平。上述解法简洁明快，自然流畅。
变式一：设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为_________。（2011年浙江省数学高考理科试题）
解：现将4x2+y2+xy=1，配方得（y+ ）2+（ x）2=1，再令y+ =sinθ， x=cosθ（θ∈R），
即x= cosθ，y=sinθ- cosθ，从而得2x+y= cosθ+sinθ- cosθ= cosθ+sinθ= sin（θ+φ），故- ≤2x+y≤ ，即2x+y的最大值为 。
变式二：设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为__________。（2014年陕西省数学高考理科试题第15题）
分析：根据题设结构，可利用三角换元。
解：由a2+b2=5，设a= sinθ，b= cosθ，则ma+nb=m sinθ+n cosθ= sin（θ+φ）=5，所以 sin（θ+φ）= ≤ ，所以 的最小值为 。
二、求解不等式
例2 解不等式 - > 。（第四届IMO试题）
解：由-1≤x≤3，得0≤ ≤1，由sin2θ+cos2θ=1，知可设 =cos2θ，θ∈[0， ]，
于是原不等式等价于sinθ-cosθ> ，sin2θ+cos2θ=1，即32cos2θ+8cosθ-15
评析：本题应用三角换元求解无理不等式，不仅减少了计算量，而且思维自然，解法流畅，思维流程创新，对学生的解题能力，大有益处。
变式一：已知x，y，z∈R+，且xyz+x+z-y=0，求证： + +
解：由y= ，tan（α+β）= ，可设x=tanα，z=tanβ，（0
2[cos2α+cos2β+cos2（α+β）]
三、求解方程（组）
例3 解方程x +y =xy。
解：由 ≥0， ≥0，知x≥1，y≥1，
由1+tan2θ=sec2θ，可设x=sec2α，y=sec2β，（0≤α，β< ）
则原方程变形为sin2α+sin2β=2，
又sin2α≤1，sin2β≤1，
所以sin2α=1，sin2β=1，即α=β= ，
故有x=y=2。
以上是比较典型的三角换元题目，考题简洁，原生形态，看似平常，实乃新奇，构思精巧，意境高远，有着良好的考查检测功能和较强的命题导向功效，这种代换思想符合新课标改革的理念精神，利于学生融会贯通课本知识，利于启迪学生思维、拓宽知识视野，提高学生分析问题和解决实际问题的能力。
（作者单位：广西桂林市第十八中学）