磁场最小面积问题剖析

带电粒子在磁场中的偏转问题历来是各类考试中的热点，其中求磁场面积的最小范围问题更是难点。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形

例1 一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）试求：圆形磁场区的最小面积；

解：由题可知，粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到b点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到b点。可知，其离开磁场时的临界点与点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过b点逆着速度v0的方向作虚线，与y轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于x轴上，距O点距离和到虚线上a点垂直距离相等的O1点即为圆周运动的圆心，圆的半径R=OO1=O1a。

由Bqv0= ，解得：R= 。弦长Oa为：l= R，

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为l的一半，即：r= l= R= ，

面积：Smin=πr2=

点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

二、磁场范围为矩形

例2 如图3所示，直角坐标系xoy第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场。现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点P（L， L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点Q（ L，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。求：

（1）电子经过Q点的速度v；

（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S。

解：（1）电子从P点开始在电场力作用下作类平抛运动到Q点，可知：

竖直方向：y= L= at2，水平方向：x= L=v0t。

解得：a= 。

而vy=at= v0，所以电子经过Q点时的速度为：v= = v0，

设v与-x方向的夹角为θ，可知tanθ= = ，所以θ=30°。

（2）如图4，电子以与-x成30°进入第四象限后先沿QM做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿y轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心O′一定在x轴上，且O′点到O点的距离与到直线QM上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出O′点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。

设偏转半径为R，evB=m ，由图知OQ= L=3R，

解得：B= ，方向垂直纸面向里。

矩形磁场的长度LOC= R= L，宽度LOA=R= L。

矩形磁场的最小面积为：Smin=LOC・LOA= L2

点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。

三、磁场范围为树叶形

例3 在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入第一象限，如图5所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解：电子在磁场中运动半径R= 是确定的，设磁场区域足够大，做出电子可能的运动轨道如图6所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在x轴上方的1/4个圆弧odb就是磁场的上边界。其他各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为R= 的距离，即图7中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：Smin=2（ πr2- ）= 。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度v0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图8中看出，x2+（R-y）2=R2，即：x2+（y-R）2=R2（x>0，y>0），这是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。

点评：这道题与前两题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。

由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。

（作者单位：河南省新乡市第一中学）