在数学中培养学生思维能力助学生成才

摘 要：数学与思维密不可分，在初中数学教学中，如何培养学生的数学思维能力，如何培养学生良好的思维习惯，如何充分调动学生思维的积极性，如何发挥数学训练的思维优势，进一步提高初中学生的数学素养，让学生走出题海战术和机械训练的怪圈，是现阶段初中数学教学中最紧迫的问题。教师要在教学实践中激发学生的创造、类比、逻辑、发散思维，培养学生科学的思维方法，养成良好的思维习惯，重视学生思维能力的培养。

关键词：创造性；发散性；类比；联想；变式

随着数学课程改革的不断推进，其倡导的新观念深刻地影响、引导着教师由重知识传授向重学生思维能力培养转变，由重教师“教”向重学生“学”转变，由重结果向重过程转变。学生的智力发展主要体现在思维能力的提高上，数学的抽象、直觉、想象等用以培养学生的思维能力的优势，是其他学科不可以相比和替代的。因此，数学不仅要教会学生掌握必要的数学知识，更重要的是通过数学知识的传授培养学生良好的思维习惯，培养他们的思维能力。下面，笔者结合自身多年的毕业班数学教学实践，谈谈自己在这方面的体会。

一、创设情境，培养创造思维

学习的最好动力，是对学习材料的兴趣。教师精心创设的问题情境，有利于调动学生的积极性，使之主动参与到教学活动中。为此，教师要在学习内容的趣味性、探究性、适应性和开放性上下工夫，留给学生足够的活动时间和思维空间，从而激发他们的创新意识和能力。思维通常是由问题的情境产生的，在数学课堂教学中，应该积极创设问题情境，变传授数学结论为知识发生发展的过程教学，使学生始终处于积极的思维之中。因此，在数学教学中，教师要尽可能地引入一些直观、形象、生动的材料创设情境，营造氛围。

例1 在“一元一次方程与实际问题”中，我是这样创设情境的：东莞市两大购物中心天虹和海雅为迎接“五一”，都进行促销活动，其中天虹是全场物品打六折销售，海雅百货是实行买200送100的活动，请问在标价一样的情况下，到哪家购物更合算？（此例的情景有利于激发学生的求知欲望）

例2 推导平方差公式，可以组织学生由“数”向“形”探索，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

图1 图2

在教师要求记忆的情况下，有些学生建立以公式本身的图式表象为内容的条件反射：“（a+b）（a-b）”“a2-b2”。而有些学生建立以声音表象为内容的条件反射：

“平方差公式”“a加b乘以a减b等于a的平方减b的平方” 。最后进行变式训练。例如：

（ a + b ） （ a - b ） = a2 - b2

（2x + y） （2x- y） = （2x）2-y2= 4x2-y2

由式子到式子的学习方式，割裂了数与式的关系。实际上，在初中数学里，式的本质是数，它是为了表示数而引入字母后的产物。通过此方式学习的学生并没有真正建构起a和b的可变性观念，大多数是由式子到式子，一见到超越变式训练范围的问题就不知如何是好，尤其是间隔了一段时间之后，这种学习尽管对一些常规的技能性问题是有效，但仍然摆脱不了机械学习的影子，时间长了，知识多了，很容易与完全平方公式（a±b）2=（a2±2ab+b2）混淆不清。其实，创造性思维能力的重点不是就解题而解题，而是使学生在做数学题中理解数学，培养应用数学的观念，实现知识的延拓与创新。

由上述两例可见，创设良好的问题情境是激发创造思维的有效方法。教师要善于把握学生的思维特点，在教学的重点、难点或关键处设计问题，创设情境，激发学生求知的欲望，启动学生的思维，提高学生自主探究的能力。

二、合理类比，培养类比思维

类比是数学推理的常见手段，它的实质是根据两对象之间的相似，把信息从一个对象转移到另外一个对象。类比不仅在数学发现方面有着显著作用，在解题教学、考查学生能力等方面也有显著效果。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生举一反三、由此及彼，灵活地应用所学知识。

例3 在讲二次函数的最大利润问题时，我先讲一元二次方程的利润问题：某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；要想每周获得6090元的利润，该商品应如何定价？

解：设商品定价为x元，则单件商品利润为（x-40）元，销售量为[300-10（x-60）]件，根据题意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接着问学生，如果把“要想每周获得6090元的利润”改成“要想每周获得y元的利润”，那又怎样列式呢？采用类比思想，同学们非常容易得出：

y=（x-40）[300-10（x-60）。

我接着又问同学们，如果把“要想每周获得6 090元的利润，该商品应如何定价？”改成“如何定价才能使利润最大？”同学们自然而然想到只要把这个二次函数进行配方就能解决这个问题。

例4 计算：■+■+……+■。

分析：原式的结构很容易联想到数值计算中类似 ■=■-■的“裂项相消法”，结构上的这种相似性是解题思路的源泉所在。

解：原式=■+■+……+■，=■-■+ ■-■+……+■+■， =■-■，=■。

综上两例可见，运用类比能拓宽学生的视野，启发学生思维；运用类比，多方纵横联想，能达到搭桥开路的作用；运用类比，使学生凭借以往的经验、知识技能和思想方法，对新旧知识进行分析比较、探索、研究，能发现其共同特点。抓住知识之间的内在联系，顺理成章，使学生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又创设了情境，发人深思。此外，类比还可以使学生的思维得到有效开发，提高思维的灵活性，使各部分知识相互变通，起到触类旁通的作用。

三、联想迁移，培养逻辑思维

想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。联想是想象力的重要组成部分，培养联想能力，是数学教育的重要任务，也是培养非逻辑思维的关键所在。

例5 关于x的不等式|x-5|+|x-4|

本题的基本方法是讨论去掉绝对值，得出|x-5|+|x-4|？叟1，因此得出a？叟1。如果联想到绝对值的几何意义，那么本题|x-5|+|x-4|就可以理解为“数轴上动点x到定点4和5的距离的和”，而此距离之和有最小值1。类似地，问题“|x-5|-|x-4|”又可以理解为“数轴上动点x到定点4，5的距离的差”。

旧知是思维的基础，思维是通向新知的桥梁。由旧知进行联想和类比，也是寻求正确思维方向的有效途径。联想和类比，就是把两种相近或相似的知识或问题进行比较，找到彼此的联系和区别，进而探究出问题的正确答案。

四、变式延伸，培养发散思维

创造能力=知识量×发散思维能力。思维的发散性，表现在思维过程中不受一定模式的束缚，从问题个性中探求共性，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定式的思维形式。变式延伸中的“一题多解”“一解多题”“一题多变”是训练发散思维的有效途径。

通过对一道题进行多方位、多层次、多角度的变式延伸，引导学生从一道习题抓住一类问题，从特殊问题抓一般问题，这样不但能激发学生学习的兴趣，而且能取得举一反三，达到训练思维能力的作用。所谓变式延伸就是通过将原题中的条件、结论、内容、图形等作适当变换，解决一类问题的变化，逐步培养学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，进而培养学生的发散思维。

例6 求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1：顺次连结任意四边形各边中点可以得到什么四边形？并证明你的结论。

变式2：如图3：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形。连结AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：

当四边形ABCD的对角线满足____时，四边形EFGH为菱形；

当四边形ABCD的对角线满足____时，四边形EFGH为矩形；

当四边形ABCD的对角线满足____时，四边形EFGH为正方形。

本例题变式1的训练条件具有开放性，变式2的训练结论具有归纳性，使学生对中点四边形的关系更清晰，思维训练更丰富，基本达到了熟练论证特殊四边形。教师应该让学生充分认识例题本身所蕴涵的教育价值，学会怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程等。教师只有充分地利用好例题，充分挖掘发挥例题的潜能，才能达到优化学生的认知结构，开阔学生的眼界，活跃学生的思维，提高学生解题能力的目的。

数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”，适当的变式延伸，可以给学生提供一座桥，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡。这里的最近发展区要把握得好，“变式”就能避免让学生反复地练习同一题型，避免学生在低水平层次之间反复的重复，从而使学生的思维能力得到更宽、更广、更深的培养。

综上所述，对一道数学题或联想，或类比、或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论。同时，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，也有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题的自主探究能力。学生通过较少的练习能获得较大的收获，不仅可以减轻学生负担，切实提高教学质量的目的，还可通过题目的拓宽，加深变化，培养学生的创新思维，使学生在探索命题演变的过程中极大丰富他们的发散性思维。

五、渗透数学思想和方法，培养思维的综合能力

从目前初中数学教学现状来看，可能受到应试教育的影响，课堂教学更多地以“问题教学”为主导，上课讲题目，课后做题目，考试考题目。特别是毕业班的教学，即使上课讲题目时，也是只讲解题步骤，不分析思维过程。对学生的要求偏重于知识结果、解题技能的掌握，而很多数学思想方法的教学却遭到忽视。又由于数学思想方法比数学基础知识更抽象、更概括，具有隐蔽性，所以学生较难以从教材中直接获取，这大大制约了学生的数学思维的有效发展。因此，教师应转变观念，对数学思想方法的教学应予以高度重视，通过认真钻研教材，挖掘出蕴涵在数学知识之中的数学思想方法，在教学中随机应变，为学生创设适宜环境，让他们在课堂教学的潜移默化中领会和掌握基本的数学思想方法，提高自身的数学思维能力。

在数学教学体系中，习题千变万化，要真正巩固和深化课改成果，使在题海里疲于奔命的学生真正解脱出来，只有在数学课堂教学中渗透数学思想方法，才能培养学生思维的灵活性。中学数学中常用的思想方法包括函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等，还有很多基本的数学方法如定义法、配方法、换元法、待定系数法、反证法等。学生掌握了这些基本数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆。因此，教师只有将这些思想和方法渗透给学生，才能提高学生的综合能力。训练的具体方法可以结合数学课堂教学，针对数学思维活动过程中展示出来的数学思想方法不失时机地进行提问与讨论，启发引导学生领悟出思想方法和进行总结提炼，也可以有意识地组织学生进行必要的解题训练，结合分析、解决问题的思维过程提炼出数学思想方法等。

总之，数学是一种文化，它既是诸多门学科的基础与工具，又是一种思想方法。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用的过程中。教师唯有让学生在学习数学知识的同时掌握基本的数学思想方法，才能为他们的自主学习和主动探究创造有利的条件。在教学过程中，学生是主体，教师要有意识地在教学中进行数学思想方法的渗透，以引导学生领会基本的数学思想方法。学生一旦掌握了基本的数学思想方法，则可在较高层次上主动探求新知，学生的数学素养和思维能力才能得到稳步提高，才能为他们的可持续发展打下坚实的基础，从而成为社会有用的人才。

参考文献：

[1]李善良，黄绣琴.初中数学教学大纲及教材分析[M].沈阳：东北师范大学出版社，1999.

[2]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学，1997（9）.

[3]孙朝仁.初中数学思想方法的基本途径[J].中学数学教学参考，1998（11）.

[4]华云峰.类比的课堂应用[J].中小学数学，2006（11）.