例析距离之和最短

时间:2022-08-10 08:10:38

最短路径问题是初中几何研究的一个经典问题, 历年颇受中考命题者青睐.

例1(2008年河北)在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄,A,B到l的距离分别是3 km和2 km,AB= a km(a>1).现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.

方案设计:

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(km)(其中BP l于点P); 图2是方案二的示意图, 设该方案中管道长度为d2 ,且d2=PA+PB(km)(其中点A'与点A关于l对称,AB与l交于点P).

观察计算:

(1)在方案一中,d1= km(用含a的式子表示);

(2)在方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2=km(用含a的式子表示).

探索归纳:

(1)①当a =4时,比较大小: d1 d2(填“>”、“=”或“<”);②当a = 6时,比较大小: d1d2(填“>”、“=”或“<”);

(2)请你参考方框中的方法指导,就a(当a>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?

分析和解答:本题是学生非常熟悉的“直线上一点到两点距离和最短”问题,通过具体计算可比较d1和d2的大小,从a的特殊数值入手,再得出a的取值范围,进而提炼归纳出一般结论.

观察计算:(1)a+2;(2).

探索归纳:(1)①<;②>;

(2)d12-d22=(a+2)2-()2=4a-20.

①当4a-20>0,即a>5时,d12-d22>0,

d1-d2>0. d1>d2;

②当4a-20=0,即a=5时,d12-d22=0,

d1-d2=0. d1=d2;

③当4a-20<0,即a<5时,d12-d22<0,

d1-d2<0. d1<d2.

综上可知:当a>5时,选方案二;当a=5时,选方案一或方案二;当1<a<5时,选方案一.

说明:本题给学生展现了“从问题的提出、方案设计、特殊赋值、归纳提升、问题解决的课题学习的完整过程,还让学生充分体验感受从特殊到一般的数学思想方法.

例2(2008年陕西)某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.如图4,甲,乙两村坐落在夹角为30B段和CD段(村子和公路的宽均不计),点M表示这所中学.点B在点M的北偏西30km处,点A在点M的正西方向,点D在点M的南偏西60km处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:

方案一:供水站建在点M处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;

方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道铺设到A处,请你在图4中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;

方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图5中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.

综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?

分析和解答:本题源于课本最短路径问题,又高于课本,综合了解直角三角形等知识的方案决策题.解答的关键是根据轴对称性质找出铺设管道最短的供水站位置,然后根据解直角三角形知识和勾股定理等计算铺设管道长度来选择方案.

方案一:由题意可得MBOB,故点M到甲村的最短距离为MB,点M到乙村的最短距离为MD,所以将供水站建在点M处时,管道沿BM、MD铺设的长度之和最小.最小值为BM+MD=3+2.

方案二:如图6,作点M关于射线OE的对称点M′,则MM′=2ME,连接AM′交OE于点P,则PE∥AM,PE=AM,

AM=2BM=6,PE=3.

在RtDME中,DE=DM・sin60,ME=DM==,PE=DE,P,D 两点重合.即AM′过D点.

在线段CD上任取一点P′,连接P′A,P′M,P′M′,则P′M=P′M′.A P′+P′M>AM′, 把供水站建在乙村的D点处,管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小, 最小值为AD+DM=AM′==4.

方案三:如图7,作点M关于射线OF的对称点M′,作M′NOE于N点,交OF于点G,交AM于点H,连接GM,则GM=GM′,M′N为点M′到OE的最短距离,即M′N=GM+GN.在RtM′HM中,∠MM′N=30M′=6,MH=3,NE=MH=3,DE=3,N、D两点重合,即M′N过D点.

在RtM′DM中,DM=2,M′D=4,在线段AB上任取一点G′,过G′作G′N′OE于N′点,连接G′M′,G′M,则G′M+G′N′=G′M′+G′N′>M′D,供水站建在甲村的G处,管道沿GM、GD铺设的长度之和最小,即最小值为GM+GD=M′D=4.

综上3+2<4,故供水站建在M处,所需铺设的管道长度最短.

说明:利用轴对称性质是求距离之和最值问题的常用方法,既易于学生动手操作,还具有作图功效.解直角三角形和勾股定理知识是解决此类问题的主要手段.

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