整体思想 8期

数学思想方法是数学的精髓，理解并能够迅速调用数学思想方法，是提高解题能力根本之所在，所以我们在中考复习过程中一定要注重培养“提炼数学思想方法”的习惯. 整体思想就是中考中常用的数学思想方法之一.

整体与局部是对应的，如按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而从整体上寻求解决问题的新途径. 这就是我们常说的整体思想.

一、 代数类整体思想

例1 当a+b=4，ab=1时，求代数式2a+3ab+2b的值.

【分析】若同学们想从关系式a+b=4，ab=1中算出a、b，再代入2a+3ab+2b求值，那将涉及二次方程的求解问题，虽然可行但显然有点复杂. 我们不妨分析一下待求式2a+3ab+2b，发现它可以整理成2（a+b）+3ab，这样就构造出了条件中a+b和ab两个整体，将这两个整体的数值代入，即可求出2a+3ab+2b的值.

解：a+b=4，ab=1，

2a+3ab+2b=2（a+b）+3ab=2×4+3×1=11.

【点评】当很难由已知条件确定未知量的具体值时，我们可以考虑整体代入，这时就需要将待求式整理成含有“条件中整体”的形式，再整体代入即可.

挑战自我：当x+y=-10，xy=时，求7x-15xy+7y的值. （答案：-73）

例2 -=3，求的值.

【分析】本题的条件式和待求式，乍一看好像没有一点联系，但若能将条件中的-=3整理成=3，y-x=3xy，就发现待求式经过整理，会有y-x这个整体，从而将这个整体代入求值即可.

【点评】用整体思想求代数式的值，这个整体可能在条件中体现得不明显，这时就需要先整理一下条件式，再寻找待求式与整理得到的条件式之间的联系.

挑战自我：已知x-=3，求代数式x2-3x-1的值. （答案：0）

例3 已知x满足x2-x-1=0，求代数式-x3+2x2+2004的值.

【分析】本题的条件式x2-x-1=0可整理成x2=x+1（也可以整理成x2-x=1），对于待求式-x3+2x2+2004，我们可以整理成x2（2-x）+2004，将x2=x+1整体代入后得（x+1）（2-x）+2004=2+x-x2+2004，发现结果中还是含有x，我们再整体代入一次即可：2+x-（x+1）+2004=2005.

【点评】用整体思想求代数式的值时，可能一次代入不能找到答案，这时可以尝试多次代入.

挑战自我：已知x2-3x-1=0，求x3-x2-7x的值. （答案：2）.

二、 几何类整体思想

【分析】由图像中已知条件求出a、b、c显然行不通，因为图中不具备3个已知的点. 其实我们可以将待求式a+b+c看成一个整体，即在二次函数中当x=1时，会出现a+b+c，结合函数图像，当x=1时，对应点在第四象限，所以函数值y为负数，A正确；同理，要出现a-b+c这个整体，即当二次函数中x=-1时，会出现a-b+c，结合函数图像，当x=-1时，对应点为最高点，函数值为正数，B正确；同理，D选项中要出现4a-2b+c，只要二次函数中x=-2，由二次函数的对称性得x=-2和x=0时的函数值相等，而当x=0时，显然函数值为正；C选项的式子需要我们先整理一下才能看出整体，不等式左边其实是am2+bm，如果在这个整体上加上c，得am2+bm+c，这个整体就是当函数中x=m时的函数值，右边a-b，也只要先加上c，得a-b+c，这个整体是当函数中x=-1时的函数值，这样问题的本质其实是让我们比较函数中x=m时的函数值和x=-1时的函数值的大小，由于当x=-1时函数有最大值，所以am2+bm+c≤a-b+c，即am2+bm≤a-b，m（am+b）≤a-b（m为任意实数）成立.

【点评】当一些函数中的系数无法确定时，我们不妨将待求式看成一个整体，再结合函数图像整体理解.

例5 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），P是以点P为圆心，2为半径的圆. 若一次函数y=kx+b的图像过点A（-1，0）且与P相切，则k+b的值为______.

【分析】通过两点A、B（或者是A、C）确定直线的函数关系式，可以求出k+b的值，但计算相对庞大. 其实k+b这个整体可以理解成当函数y=kx+b中x=1时函数值的大小.

【点评】此题看起来是要我们具体求出k、b，此计算较为复杂. 其实我们可以将k+b看成一个整体，理解为当函数y=kx+b中x=1时，函数值的大小.

整体思想是中考常考的数学思想方法，通常题干会给出各种各样关于未知数的关系式，利用常规方法解题，甚至求不出具体的数值，这时就需要从一个整体的角度分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知关系式或将式子进行适当变形后作为整体直接代入求值式中计算，一次代入若没能得到结果，还可能需要代入第二次. 这种通过整理、变形构造整体，再整体求值的思想往往能使很多问题变得“柳暗花明”！

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）