在实践操作中完善想象

背景介绍

人教版教材五年级上册第97页，有一道组合图形的复习整理后的思考题，题目如下：

为了让学习更有趣味性和探索性，笔者在课前为每位学生准备了一张长方形纸条和三张树形图，这些图形都是笔者用几何画板精确画出来的，并再按比例缩小。

这里的第1小题是求小树这个组合图形的面积，从上到下分别由一个三角形、两个梯形和一个长方形组成，学生在计算时不会有什么问题。第2小题是求大长方形里面剪几个这样的小树，按照以前计算的习惯，一般都会把长方形的面积除以小树面积，果然，有不少学生算出能剪19棵小树。为了让学生更清楚地知道实际上是剪不下19棵小树的，笔者让他们去摆一摆，学生一共摆出了4种方法，具体如下图。

当学生摆出的方法一种比一种更多时，学生的情绪一次又一次地被点燃，完全沉浸在成功的喜悦中。

正当笔者要宣布结果时，有位学生突然叫起来：我们组摆出了10棵小树！

“不可能吧！”笔者下意识地脱口而出。

“我们组摆了10棵小树！不信，你来看一下。”看这情形，不好好讲解要说服他们是不行的。

于是，笔者请这组同学把摆好的作品放到投影上看，确实，他们组利用小组内所有的小树，在长方形纸上摆了10棵小树（见下图）。

事实胜于雄辩，看到他们组摆出的图形，所有同学都欢呼起来。这到底是怎么回事？怎么可以摆10棵呢？一定是哪里出了问题，笔者仔细地观察他们摆的这个图片，发现左右两端略微“出界”了一些，好几棵小树在他们摆了多次以后已经有些跷起来了，“树叶”之间有些重叠了。如果此时把笔者刚才的发现指给大家看，虽然他们在理智上可能会部分认同，但是在情感上是绝对不同意的。而且笔者把长方形和小树都是按一定比例缩小的，会不会在此过程中发生一点小误差呢？想到这里，笔者觉得最能说明事情的不是眼前的摆法了，而是要通过数据的计算来说服。这时，笔者故作惊讶：真的可以摆10棵小树啊，为什么可以摆10棵呢？让我们来计算一下吧。

第一次探索

笔者在幻灯上把10棵小树紧紧地挨着，像上面一样摆出了10棵，从哪里开始计算呢？先算上下的距离，能不能摆下两棵小树：一棵小树树干部分长6cm，枝叶部分长9cm，这种摆法是2个树干的长加上1个枝叶的长，6+6+9=21（cm），与长方形的宽相等！学生非常高兴。接着怎么算这排小树的长呢？笔者把这个问题抛给学生，在一阵安静思考之后，有个学生提出，枝叶中间那一层互相连在一起，好像是一个平行四边形。

师：是吗？

生：是一个平行四边形！（大家一片附和之声）

师：为什么？

生：两个形状、大小完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（学生回答得干脆利落，想不到，梯形与平行四边形的关系在这里用得这么贴切）

为了让全体学生都看清平行四边形，笔者特意用四条线围成平行四边形（见下图）。

师：那么，这里由两个形状、大小完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形有几组呢？

生：上下小树合成一组，一共有5组。

师：每个平行四边形的底是多少？

生：上底加下底是2+6.6=8.6（cm）。

生：5组一共是8.6×5=43（cm），比长方形的长45cm还少2厘米。

笔者急忙把算式板书在黑板上。到这里，事情已经向预计的方向发展了。

师：对照算式和图，现在你们觉得真的可以摆下10棵小树吗？

生：可以。

生：不可以。（有些学生已经看出来了）

师：你为什么认为不可以呢？

生：因为小树最下面的一层还没算呢！

师：请你上来指一指，哪里还没有计算进去？

学生上来指出了左右两端最底下一层枝叶，它们超出了平行四边形。

生：还有一个地方没有算进去！（又一个学生来说）

师：啊？还有哪里没有计算进去，也请你来指给大家看。

学生上来指出了平行四边形的上底比下底倾斜出的部分。

师：原来平行四边形的底并不能代表整个平行四边形的长度，还要加上这个倾斜的长度，这里是多少长呢？两头的还有一些没有计算进去的是多少呢？（笔者把三处还没有计算的地方圈出来，见下图）

生：最底层比中间层多出了4-3.3=0.7（cm），两端就是0.7×2=1.4（cm），枝叶部分拼起来总长度还要增加3.3-1=2.3（cm）。一共要增加1.4+2.3=3.7（cm）。

生：43+3.7=46.7（cm），比长方形的长45cm多了1.7cm。

师：这个结果让人觉得有点沮丧，可是，虽然不能够摆10个，但是肯定可以摆出9个，也是比刚才的8个进步了不少呢！如果没有刚才的理论计算，我们还不知道能摆出9个呢！刚才这组同学很爱动脑筋思考，非常值得大家学习，那么他们摆出来的小树为什么看起来好像有10棵呢？

这时，笔者相信，他们已经心服口服了，这多亏了理论计算和实践拼摆的完美融合。

师：嗯，数学中很多事情看起来好像是正确的，其实通过计算，我们会发现有很多错误的地方，数学就是需要我们精确地理性地思考。为大家的理性思考鼓鼓掌。（教室里掌声雷动）

第二次探索

“老师，可以摆出10棵小树！”笔者以为现在是该结束这道题目的时候了，想不到还有学生叫起来。“不过，不是那样摆的，我们是这样摆的。”说话的语气非常肯定，不知道是因为肯定自己的方法还是掌声带来的兴奋，既然这样，那就把他的方法也拿上来让大家看一下吧。

“天哪，真的有10个。”（教室里再一次炸开了，欢呼声、掌声、尖叫声……）

“怎么办？要不要算一算？”笔者试探地问。

“算……”

“好吧，可是怎么算呢？像刚才一样，先算宽度够不够用，再算长度够不够，长度看起来简单一点，就先算长度吧，一棵小树的长度是15cm，3棵小树是45cm，刚好！”

“再来看宽度，像刚才一样，先找到平行四边形，算出一条底的长度，再增加两头长度。”

上面已经计算过一组小平行四边形的底是8.6cm，2组是17.2cm。同样的两头像刚才一样增加0.7×2=1.4（cm）和3.3-1=2.3（cm），也是增加1.4+2.3=3.7（cm），17.2+3.7=20.9（cm），比长方形的宽少了0.1cm！

“完全可以！我们为这位同学的动脑思考鼓掌，为我们学无止境的探究鼓掌！”

回顾反思

这道习题的出色完成，大大地超出了笔者的预料，同时也有很多东西值得深思。

（一）想象需要借助实践操作

课堂教学既要照顾到后进生，也要为优等生插上腾飞的翅膀。为学生准备的学具，有两个层次的作用，对于中下学生，要明白理论上能剪出19棵小树，在实际中是行不通的；但是对于中上学生来说，不用摆也知道，这些小树对他们来说，就是探索发现的工具！他们会把脑子里的想象一次次地进行实践操作，在成功与失败的过程中，体会学习的无穷魅力！在第一次出现能摆10棵小树时，是他们探索的第一次飞跃，尽管是一次不大成功的尝试，但是，他们的探索是非常成功的，正因为如此，所以有了第二次的飞跃，探索出了真正的10棵小树的摆法！试想一下，如果没有为学生准备的这些小树图片，学生能创造出如此多的摆法吗？能这样一次次愉悦地起飞吗？

（二）理论计算与实践操作的完美交融

理论指导实践，实践检验理论，第一次探索的结果，在大多数学生认可的情况下，如果教师强行判定这种方法不对，会造成非常严重的后果，所以，笔者巧妙地借助理论计算来验证这种方法。在验证的过程中，既巩固了本单元所学的内容，又体会到了数学计算的科学严谨性，最重要的是意识到了实践操作还需要理论计算来做最后的确认，这就是科学的研究方法！对于第二次探索，教师和学生都没有把握这种方法的正确性，就拿出我们刚刚获得的学习方法，即用理论计算来验证！计算的结果与实践操作的结果完全吻合，得到最终的肯定。这种对答案的肯定不是教师给的，而是学生自己用理论验证出来的，摆脱了对教师的依赖，走向了独立！

（三）获得丰富的情感体验

无论知识和技能多么重要，它从来就不是学生学习的全部内容，所以，情感、态度、价值观等是课堂必须要渗透的东西。首先是成功的体验，不同的人在数学上获得不同的发展。在这个课例中，不同层次的学生都有自己的探索发现，都获得了积极的成功的体验。其次是合作的愉悦，从个人到小组，再到全班，个人的智慧与全班的探索息息相关，一次次地将探索推向高潮！

在本案例中，学生经历了观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，发展了合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地进行思考，体验到数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和理论验证的习惯。

（浙江省瑞安市马鞍山实验小学 325200）