基于ITAE指标等概率分布的PID参数整定

摘 要

在培训及教学实践中，为使学生客观的理解PID参数对控制效果影响，只有最优PID参数往往是不够的。文中以ITAE性能指标为目标函数划分系统的控制稳定性等级，分成“好”、“较好”、“较差”和“差”四部分，从每部分所对应的PID参数的交集中分别找出4个参数进行组合，实现等概率分布，同时建立用户交互式界面，直观显示出各种性能效果，满足了PID控制教学培训时的演示要求，对示范性实验装置的设计有指导性意义。

【关键词】PID控制 ITAE 等概率分布

1 引言

PID控制器以其算法简单、鲁棒性好、可靠性高等优势广泛应用于各种控制中。PID参数整定是PID控制器设计与应用的一个关键问题。所谓控制器的参数整定就是对一个已经完整的控制系统，通过调整控制器的参数，达到满意的控制输出效果。针对被控对象整定出最佳PID参数的方法比比是，但是也不能忽略当控制系统不稳定时PID参数的变化情况，只有知道变化规律的存在，才能进一步为找到合适的PID参数打定基础。

本文针对培训与教学环境，选择一个典型双惯性被控对象，通过拉式反变换完成对其仿真模型的建立，以ITAE误差积分型指标为目标函数进行模糊分级，分为“好”、“较好”、“较差”和“差”四个等级，从四个等级的PID参数的交集中整定出4个Kp值、4个Ti值、4个Td值进行组合，实现控制性能指标的等概率分布。

为了更有效地让学生观察PID控制系统的各种性能，在实验装置上用6位拨码开关选择PID

参数，例如，设置2位拨码开关为“00”、“01”、“10”和“11”，它们分别代表4个Kp参数中的某一个Kp值。这样，6位拨码可以选出64种PID参数，64种实验结果中要求性能“好”、“较好”、“较差”和“差”的实验各占16个，实现了等概率分布。

2 控制系统的仿真模型

本文研究的单位反馈闭环控制系统的被控对象传递函数如式（1）所示：

（1）

将式（1）变换为

（2）

对式（2）进行拉氏反变换，能够得该系统的微分方程

（3）

一般不真正去解微分方程，可利用拉氏变换得到代数方程，间接求解y（t），得到y（t）的象函数，再对其拉氏逆变换，获得t≥0时的响应y（t），计算步骤为对求得的系统微分方程进行拉普拉斯变换，并考虑初始条件，利用变换的时域微分性质得到：

s2y（s）?sy（kT）?y'（kT）+3[sY（s）?y（kT）]+2Y（s）

=u（kT） （4）

解代数方程：

s2+3s+2Y（s）?（s+3）y（kT）?y'（kT）

=u（kT） （5）

Y（s）= u（kT）+y（kT）

+y'（kT） （6）

因为y（kT）为一数值序列，则y（kT）的值都由y（kT）的数值序列计算得到，可展开为：

Y（s）= u（kT）+y（kT）

+y'（kT）

=5・u（kT）+

y（kT）+y'（kT） （7）

通过拉氏反变换得到系统输出全响应：

y（kT+t）=5×（1+e?2t?2e?t）u（kT）+（2e?t?e?2t）y（kT）+（e?t?e?2t）y'（kT） （8）

3 基于itae指标的模糊分级

在离散系统中ITAE性能指标可定义为

J=|e（iT）| iT （9）

其中T表示离散系统的采样周期，i表示系统的采样次数。

为了表示性能的差别，可形象地将其描述为如图1所示的宝塔形状。在规定的范围内选择PID参数进行穷举计算，将误差积分性能指标进行分级，对该误差积分性能指标对应参数空间的参数（如Kp（X）、Ti（Y）、Td（Z））加上级别属性，确定“好”、“较好”、“较差”、“差”等概念上的模糊性能指标的值域。误差积分性能指标J（ITAE）进行分级比较的模糊值域具体可分为

J1 ：J0 ≤ 1.2λ1J0

J2 ：λ2J0 ≤ J2 ≤ 1.2λ2J0 （10）

J3 ：λ3J0 ≤ J3 ≤ 1.2λ3J0

J4 ：λ4J0 ≤ J4 ≤ 1.2λ4J0

其中λ取某个常数，例如λ=4，最优积分指标J0=0.0352，对应Kp0=1.2000，Ti0=1.4300，Td0=0.3210，那么可进行如下分级为J1∈[0，0.16896]，级别属性为“好”；J2∈[0.5632，0.67584]，级别属性为“较好”；J3∈[2.2528，2.70336]，级别属性为“较差”；J4∈[9.0112，10.81344]，级别属性为“差”；其它范围的级别属性为“不考虑”。

图1：基于ITAE指标的等级分布

用Matlab工具仿真计算数字PID控制器参数空间对应的性能指标，取Kp∈[0.5，20.5]，含Kp0；取Ti∈[0.03，20.03]，含Ti0；取Td∈[0.001，2.001]，含Td0，按上述PID参数进行控制，记录符合J1、J2、J3、J4等4个模糊性能指标的参数连通域S好、S较好、S较差、S差，并且通过三维作图方式将此三维数组显示出来。

对给定论域的Kp、Ti、Td这三个变量可构成三维图形，再加上表示其级别属性的目标函数J（Kp（X），Ti（Y），Td（Z）），图形应该是四维的。在Matlab环境下，我们考虑采用三维立体空间的颜色来表现目标函数值的不同级别情况。将Kp，Ti，Td三重循环参数存入三维数组中，再用slice函数来完成三维数组的四维图像。选取slice（J， Kp， Ti， Td（Z）），按数组Kp，Ti，Td的网格单位切片，如图2所示，三维数组的索引号为整数，故参数组的遍历可变形为循环数。

4 参数函数法实现等概率分布

为使在该空间内每个参数Kp、Ti、Td组合而成的64种参数组合等概率分布于4种模糊定义的性能指标，需对标有级别属性的pid参数空间进行遍历处理，在处理过程中如果PID参数空间无重叠或重叠区区域太小不能找到组合，可以在λ基础上减小一个足够小的ε，例如ε=0.4，代入式（10）中继续寻找足够的重叠区，直到找到为止。

实验中通过编程自动寻找获得4个Kp，4个Ti，4个Td参数，具体为Kp=[0.9，2.3，6.3，14.2]；Ti=[1.23，1.33，1.43，1.53]；Td=[0.361，0.371，0.381，0.391]，任意组合得到等概率分布的参数组合如图2所示。可以用如图3所示6位拨码开关，每2位一组，构造3组参数如下：

SW1、SW2：00=Kp1；01=Kp2；10=Kp3；11=Kp4。

SW3、SW4：00=Ti1；01=Ti2；10=Ti3；11=Ti4。

SW5、SW6：00=Td1；01=Td2；10=Td3；11=Td4。通过6位开关选择PID参数，共有64种PID参数组合，期望控制效果的级别属性能等概率分布，即16种PID参数控制得到积分性能指标级别属性为“好”，16种为“较好”，16种为“较差”，16种为“差”。

5 系统仿真结果

对寻找预期效果的结果可视化最终获得实现目标的参数组合。如图4所示，借助Matlab软件的GUI工具实现人机交互，整定结果和系统阶跃响应都能通过界面呈现出来。由Kp来决定系统性能指标级别，Kp为0.9时，有16组参数组合的系统性能指标是“好”，如图5所示；Kp为2.3时，有16组参数组合的系统性能指标是“较好”，如图6所示；Kp为6.3时，有16组参数组合的系统性能指标是“较差”，如图7所示；Kp为14.2时，有16组参数组合的系统性能指标是“差”，如图8所示。由此可见，利用Matlab的仿真结果实现了基于ITAE指标的模糊分级的等概率分布。

6 结论

研究一个物理系统，必须考虑建立被控对象的数学模型，解决数学描述和分析工具的问题。以拉普拉斯变换为数学工具，求解被控对象在任意初始时刻的系统全响应。基于ITAE指标的PID控制器进行模糊分级的整定方法，是借助Matlab软件强大的计算功能，实现在有限空间中对PID参数满足不同程度的ITAE指标的模糊概念的等级分布。对不同级别属性的参数域进行可视化，画出其四维图像有利于对模糊分级概念有更为直观的理解。该方法整定出4个Kp值、4个Ti值、4个Td值，创新地实现了多参数值的PID参数整定，实现了控制性能的四个模糊级别的等概率分布。

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作者简介

1.赵文龙（1963-），男，江西省南昌市人。现为南昌航空大学教授、硕士研究生导师。主要研究方向为嵌入式技术及应用的研究。

2.齐柳（1989-），女，河北省石家庄人。硕士研究生学历。现为南昌航空大学研究生，主要研究方向为智能控制技术及仿真应用。

作者单位

南昌航空大学 江西省南昌市 330063