经济模型中带虚变量回归分析正规方程的解

[摘要] 本文介绍了一种求解经济模型中带虚变量回归分析正规方程的方法，其基本思想是借助正规方程系数矩阵自身性质对方程的解进行分析并分步求解，通过解的结构的分析使求解过程细化、可行。实践证明这一求解理论使经济模型中带虚变量回归分析中正规方程可解。

[关键词] 解 正规方程 虚变量

一、引言

经济模型中带虚变量回归分析的正规方程的系数矩阵不是满秩的，因此无法通过克莱姆法则求解，这就给解正规方程带来很大不便。那么，这类正规方程解的构成是怎样的形式，具体又如何求解，这就是本文所要解决的问题，在这里求解过程主要是借助正规方程系数矩阵自身所具备的一些特殊的优越性质，深入分析方程解的结构，进而求解的。

二、正规方程的导出

1.反应矩阵

(1)反应

经济模型中当自变量以虚变量出现时，以i代表样本，j代表自变量，k代表虚变量水平，用变量表示第i个样本第j个自变量取第k个水平的反应，即：

(2)反映矩阵

将有n个样本，m个自变量，其中第j个自变量有rj个水平的反应表写成矩阵的形式称为反映矩阵，记为：

;

矩阵中元素不为0即为1。

2.正规方程导出

(1)方程的导出

设n表示样本容量；有m个自变量，其中有个水平，;这些变量与因变量y有统计的线性关系；是依赖于第j个自变量的待估参数；是误差，假定相互独立且同分布；再设:

，

,则线性关系式可记为： ，其矩阵形式为：，现在运用回归分析中最小二乘法原理[4]对进行估计，若要使残差平方和最小，则令：

可得到：

其中和，整理得：由所设向量将方程转化成矩阵形式：此方程即正规方程。

(2)方程的性质

①正规方程的系数矩阵是非满秩的。

②正规方程是相容的，即正规方程一定有解。

③正规方程中对各个自变量相应的系数之和皆相等。

即若：代表正规方程中第i个方程，第j个自变量，对应的系数，则有：

三、正规方程的解

1.正规方程的特解

(1)正规方程系数矩阵的秩

由前面推导得正规方程系数矩阵是行列的非满秩的矩阵，并且，m个自变量的反应矩阵至少有m个列向量线性相关，那么若m-1删去列后其秩小于等于。为便于推导，不妨将其秩暂设为。

(2)正规方程的特解

正规方程系数矩阵秩设为．求解时，先删去第j个自变量第一个水平所对应的方程，共计m个，再令后，余下的方程系数矩阵就是满秩的了，可通过克莱姆法则求解得：

使得成立，其中称为正规方程特解。

2.正规方程的通解

(1)正规方程任意解B%

由前(2)方程的性质，正规方程系数矩阵是非满秩且正规方程相容，那么正规方程一定有解且有无穷多组解，现设B%为正规方程任意一组解，则满足

其中：

(2)方程的解

其中：计r1个；计r2个；计rm;共计个。

将代入齐次方程中，若设系数矩阵第i行表为：

由正规方程性质（3）有：

使齐次方程成立也即为齐次方程的解。

(3)正规方程的通解

记正规方程的通解为，那么由前，那么有：，即为齐次方程的解而也是的解，所以的通解可以表示为：，形式，其中同上所设。

即正规方程通解为：

四、小结

经济模型中带虚变量正规方程系数矩阵是非满秩的，但又一定有解。求解过程中可以分两步进行，首先，将正规方程系数矩阵降节后转化成满秩矩阵再使用克拉姆法则求其特解;其次，借助正规方程中各个自变量相应系数之和皆相等的特殊性质与任意解B%，可找到正规方程所对应齐次方程的解；最后，将特解与齐次方程解加和即得正规方程通解。

参考文献：

[1]李子奈潘文卿:计量经济学[M].北京：高等教育出版社，55～67

[2]张桂喜马立平:经济预测与决策[M].北京：首都经济贸易大学出版社，97～113